峰图 | 任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导计算证明，当 $a > 0$ 的时候，任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度，从而证明：

$$
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln x = 0
$$

二、正文

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \cdot \ln x & = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{-1}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{-1}}{-a x^{-a-1}} \\ \\
& = \frac{-1}{a} \lim_{x \to 0^{+}} x^{-1 – a + 1} \\ \\
& = \frac{-1}{a} \lim_{x \to 0^{+}} x^{- a} \\ \\
& = \frac{-1}{a} \cdot 0 \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

事实上，当 $x \to 0^{+}$ 的时候，我们通过画图的方式，也可以很容易地看出来正次幂趋于零的速度比 $\ln x$ 趋于负无穷大的速度快这一性质——

首先，我们先绘制出 $y = x^{2}$ 的函数图象（如图 01 所示），以及函数 $y = \ln x$ 的函数图象（如图 02 所示）：

接着，我们将 $y = \ln x$ 的函数图象向左旋转 $90^{\circ}$, 叠放到 $y = x^{2}$ 的函数图象上，如图 03 所示：

于是，如图 04 所示，我们可以很明显地看到，红色垂线左侧的 $y = x^{2}$ 的函数图象接近坐标轴横轴（趋于零）的速度（倾斜程度）明显比 $y = \ln x$ 的函数图象接近坐标轴横轴（趋于负无穷大）的速度（倾斜程度）快（大）：

所以，当 $x \to 0^{+}$ 的时候，正次幂趋于零的速度比 $\ln x$ 趋于负无穷大的速度快.

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