荒原之梦 – 第 3 页

2025年考研数二第17题解析：定积分的计算、因式分解

一、题目

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-2x+2 \right)} \mathrm{~d}x$.

二、解析

解法 1：先做代换，再做因式分解

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-2x+2 \right)} \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left[ \left( x-1 \right)^{2}+1 \right]} \mathrm{~d}x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{t=x-1} \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \frac{1}{\left( t+2 \right)\left( t^{2}+1 \right)} \mathrm{~d}t \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \left( \frac{A}{t+2} + \frac{Bt + C}{t^{2} + 1} \right) \mathrm{~d} t \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \frac{\left( A+B \right)t^{2} + \left( 2B + C \right) t + A + 2C}{\left( t+2 \right)\left( t^{2}+1 \right)} \mathrm{~d} t \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\begin{cases}
A + B = 0 \\
2B + C = 0 \\
A + 2C = 1
\end{cases} \leadsto \begin{cases}
A = 1 \\
B = -1 \\
C = 2
\end{cases}} \\ \\
= & \ \frac{1}{5} \int_{-1}^{0}\left( \frac{1}{t+2}+\frac{-t+2}{t^{2}+1} \right) \mathrm{~d}t \\ \\
= & \ \left.\frac{1}{5}\left[ \ln \left( t+2 \right)-\frac{1}{2}\ln \left( t^{2}+1 \right)+2\arctan x \right] \right|_{-1}^{0} \\ \\
= & \ \frac{1}{5} \left[ \ln 2-\left( -\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{2} \right) \right] \\ \\
= & \ \frac{1}{5}\left( \frac{3}{2}\ln 2+\frac{\pi}{2} \right)
\end{aligned}
$$

解法 2：只做因式分解

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{0}^{1}\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-2x+2\right)} \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1}\left(\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-2x+2}\right) \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1} \left( \frac{\left( A+B \right)x^{2} + \left( -2 A + B + C \right) x + 2A + C}{\left( 1+x \right) \left( x^{2} – 2x + 2 \right)} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\begin{cases}
A+B=0 \\
-2A+B+C=0 \\
2A+C=1
\end{cases} \leadsto \begin{cases}
A = \frac{1}{5} \\
B = \frac{-1}{5} \\
C = \frac{3}{5}
\end{cases} } \\ \\
= & \ \int_{0}^{1}\left(\frac{\frac{1}{5}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}}{x^{2}-2x+2}\right) \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \left.\frac{1}{5}\ln\left|1+x\right|\right|_{0}^{1} – \left.\frac{1}{10}\ln\left|x^{2}-2x+2\right|\right|_{0}^{1} + \left.\frac{2}{5}\arctan\left(x-1\right)\right|_{0}^{1} \\ \\
= & \ \frac{3}{10}\ln 2 + \frac{1}{10}\pi
\end{aligned}
$$

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

2025年考研数二第16题解析：齐次线性方程组的基础解系和特解

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right)$，若 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的通解为 $\boldsymbol{x} = \underline{\qquad}$.

难度评级：

二、答案

$\boldsymbol{x} = C \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1 \\ -1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 4
\end{pmatrix}$，其中 $C$ 为任意常数.

三、解析

分析可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 是一个非齐次线性方程组，非齐次线性方程组的通解由其特解和对应的齐次线性方程组的通解相加得到.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是，先求解对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的通解（求解出组成通解的基础解系即可）：

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，得：

$$
\boldsymbol{a}_{4} = – \boldsymbol{a}_{1} – \boldsymbol{a}_{2} + \boldsymbol{a}_{3}
$$

于是可知，$\boldsymbol{a}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性表示.

又因为 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，所以 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4}$ 线性相关，即：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3} \right) = 3
$$

因此，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中含有一个解向量.

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$ 得：

$$
\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} – \boldsymbol{a}_{3} – \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) = 0
$$

从而 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\xi} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) }$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，求解非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解：

由于 $\boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}$，故 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\eta} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) }$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 通解为 $\boldsymbol{x} = C \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}$, 其中 $C$ 为任意常数.

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

2025年考研数二第15题解析：可分离变量的微分方程

一、题目

微分方程 $\left( 2y-3x \right)\mathrm{d} x + \left( 2x-5y \right) \mathrm{d} y = 0$ 满足条件 $y \left( 1 \right) = 1$ 的解为 $\underline{\qquad}$.

难度评级：

继续阅读

2025年考研数二第14题解析：参数方程求导

一、题目

已知函数 $y = y\left( x \right)$ 由 $\begin{cases} x = \ln \left( 1 + 2 t \right) \\ 2 t – \int_{1}^{y + t^{2}} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d}u = 0 \end{cases}$ 确定，则 $\left. \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right|_{t={0}} =$ $\underline{\qquad}$.

难度评级：

继续阅读

2025年考研数二第13题解析：定积分的定义、数列求和

一、题目

$$
\lim_{{n} \to \infty} \frac{1}{{n}^{{2}}} \left[ \ln \frac{1}{{n}} + 2 \ln \frac{2}{{n}} + \cdots + \left( {n} – 1 \right) \ln \frac{{n} – 1}{{n}} \right] \underline{\qquad}.
$$

继续阅读

2025年考研数二第12题解析：渐近线、极限的计算

一、题目

曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 的渐近线方程为 $\underline{\qquad}$.

继续阅读

2025年考研数二第11题解析：反常积分的敛散性、对数函数的积分

一、题目

设 $\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x\left(2x+a\right)}\mathrm{~d} x = \ln 2$, 则 $a = \underline{\qquad}$.

难度评级：

继续阅读

2025年考研数二第10题解析：线性方程组的解、矩阵的可逆性

一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)+1$, 则（）

»A«. 方程组 $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}=0$ 只有零解

»B«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 均只有零解

»C«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 没有公共非零解

»D«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有公共非零解

继续阅读

2025年考研数二第09题解析：矩阵的初等变换

一、题目

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 的是（）

A. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix}$

继续阅读

二次型全面深度解析

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对什么是二次型、二次型的本质、二次型与实对称矩阵之间的关系、常用的化二次型为标准型的方法等，做一个全面且深度的解析，帮助同学们更加深入地理解考研线性代数中的二次型.

继续阅读

二次型的可逆线性换元（变量替换）与矩阵的合同

一、前言

二次型的可逆线性换元（变量替换）本质上就是求原矩阵的合同矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过定义来说明为什么是这样的.

继续阅读

为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

一、前言

对于方阵而言，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对应相等，这个矩阵就被称为“对称矩阵”，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对称正负相反，这个矩阵就被称为“斜对称矩阵”.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就基于转置矩阵的性质，为同学们讲解清楚：为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

Tip

斜对称矩阵并不是关于矩阵副对角线对称的矩阵.
zhaokaifeng.com

继续阅读

2025年考研数二第08题解析：矩阵的特征值、韦达定理、二次型

一、题目

设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则（）

»A«. $a>4, b>0$

»B«. $a<4, b>0$

»C«. $a>4, b<0$

»D«. $a<4, b<0$

难度评级：

继续阅读

实对称矩阵的性质及其二次型

§1. 什么是实对称矩阵？

要定义实对称矩阵，我们首先需要知道什么是对称矩阵——

设 $\boldsymbol{A} = \left( a_{ij} \right)_{n \times n}$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$, 那么就称 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵.

也就是说，一个对称矩阵，指的就是关于主对角线对称，主对角线两边对应位置的元素相等的矩阵：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A} \iff a_{ij} = a_{ji} \quad \left( \forall i, j \right)
$$

例如，下面的矩阵就是一个对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \right)
$$

因为 $a_{12} = a_{21} = 2$, $a_{13} = a_{31} = 3$, $a_{23} = a_{32} = 5$.

基于上面的定义，我们就可以定义什么是实对称矩阵——

如果一个对称矩阵的所有元素都是实数，就称它为实对称矩阵.

考研数学中的对称矩阵，一般就是实对称矩阵.

§2. 实对称矩阵的重要性质

实对称矩阵的特征值都是实数

需要注意的是，实对称矩阵主对角线上的元素不一定是其特征值，或者说，实对称矩阵主对角线上的元素与实对称矩阵的特征值之间没有必然的关系.

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交

若特征值 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, 且这两个特征值对应的征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$，则：

$$
\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} = 0
$$

实对称矩阵一定可以正交对角化

若 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，即：

$$
\boldsymbol{\Lambda} = \mathrm{diag} \left( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n} \right)
$$

§3. 实对称矩阵与二次型的关系

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，则其对应的二次型为：

$$
f \left( \boldsymbol{x} \right) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij} x_{i} x_{j}
$$

注意：交叉项 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 前面的系数之所以是 $2$, 是因为 $a_{ij} x_{i} x_{j}$ 和 $a_{ji} x_{j} x_{i}$ 合并了，且 $a_{ij} = a_{ji}$.

例如，对于一个 $3$ 阶的实对称矩阵：

$$
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{matrix} \right)
$$

其对应二次型为：

$$
f \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = a x_{1}^{2} + b x_{2}^{2} + c x_{3}^{2} + 2 d x_{1} x_{2} + 2 e x_{1} x_{3} + 2 f x_{2} x_{3}
$$

如果要进一步求解实对称矩阵对应的二次型的标准型，也就是将二次型转换为只含平方项、不含交叉项的形式，则需要求解出实对称矩阵的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n}$, 此时，该实对称矩阵的二次型的标准型就是：

$$
f = \lambda_{1} y_{1}^{2} + \lambda_{2} y_{2}^{2} + \dots + \lambda_{n} y_{n}^{2}
$$

一、题目

设函数 $f\left( x \right)$ 连续，给出下列四个条件：

① $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right| – f\left( 0 \right)}{x}$ 存在；

② $\lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x}$ 存在；

③ $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x}$ 存在；

④ $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right| – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x}$ 存在；

其中能得到“$f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处可导”的条件个数是 $\left( \ \right)$

»A«. $1$

»B«. $2$

»C«. $3$

»D«. $4$

难度评级：

继续阅读