荒原之梦 – 第 3 页

2022考研数二第17题解析：一点处导数的定义

一、题目

已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) – 3 f\left(1 + \sin^{2} x\right)}{x^{2}} = 2$，求 $f^{\prime}\left(1\right)$.

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2022考研数二第16题解析：矩阵的迹、矩阵的初等变换、矩阵的乘法运算

一、题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第15题解析：极坐标系定积分的计算

一、题目

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \sin 3 \theta \left( 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3} \right)$, 则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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常用反三角函数的取值对照表

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

2022考研数二第13题解析：定积分的计算

一、题目

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} – x + 1} \mathrm{~d} x = \underline{\qquad \qquad}$.

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2022考研数二第12题解析：隐函数求导

一、题目

已知函数 $y = y \left(x\right)$ 由方程 $x^{2} + x y + y^{3} = 3$ 确定，则 $y^{\prime\prime}\left(1\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第11题解析：极限的计算、三角函数、常用的等价无穷小

一、题目

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1 + \mathrm{e}^{x}}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第10题解析：向量组等价、初等变换、矩阵的秩

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \left( \lambda, 1, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \left( 1, \lambda, 1 \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \left( 1, 1, \lambda \right)^{\top}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4} = \left( 1, \lambda, \lambda^{2} \right)^{\top}$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$

»A« $\left\{0, 1\right\}$

»B« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -2\right\}$

»C« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1, \lambda \neq -2\right\}$

»D« $\left\{\lambda \ \middle| \ \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq -1\right\}$

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等价向量组及其性质

一、什么是等价向量组

在线性代数里，两个向量组等价，本质上是说，这两个向量组能互相线性表示——当然，这两个向量组必须要么都是行向量，要么都是列向量.

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峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。

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峰说 | 为什么地球上除了人之外的其他动物没有发展出“智能”？

由于本文的主题是“智能”，所以，「荒原之梦」首先给出“智能”的定义（这个定义是「荒原之梦」在本文中首先提出的）：

所谓“智能”，就是一种具有“各向完备性”的认知能力。这里的“各向完备性”指的是在某种认知范围内，具有“智能”的对象能够认知，或者具有认知的潜能。

上面有关“智能”的定义，实际上隐含了两个含义：

“认知”或者说“智能”有边界的，不存在没有边界，或者说不受限制的智能；
“认知”或者说“智能”是相对的，因为我们需要在某个“认知范围内”对智能做出评价与衡量。

基于上面对“智能”的定义，我们可以用如图 01 所示的封闭图形表示一种“智能”：

峰说 | 为什么地球上除了人之外其他动物为什么没有发展出高级智能？| 荒原之梦 | 图 01. — 图 01.

为了进行后面的解释，「荒原之梦」在这里还要提出一个假说（猜想），即：智能决定论。

所谓“智能决定论”说的是，一个对象的物质意义，以及这个对象所观察和影响到的世界等一切能够决定这个对象的事物与存在，本质上都源自于这个对象所具有的“智能”。

因此，从这个意义上来说，假如图 02 中的绿色封闭图形所代表的智能，能够兼容和完全理解图 02 中灰色封闭图形所代表的智能，那么，这两个智能映射出来的对象就是完全一致的。换句话说，从智能决定论的角度来说，世界上并不存在一种被绿色封闭图形智能内含的灰色封闭图形智能，因为，一旦出现这种情况，那么，这两种智能就是完全一样的智能，对应的封闭图形也是完全一致的：

峰说 | 为什么地球上除了人之外其他动物为什么没有发展出高级智能？| 荒原之梦 | 图 02. — 图 02.

基于上面的分析，我们就可以回答“为什么地球上除了人之外其他动物为什么没有发展出高级智能？”这一问题，因为，并不是其他动物，甚至植物等对象没有智能，而是，不同的智能之间或许存在某种“隔绝性”，也就是说，A 种群的智能完全不可能或者部分不可能理解 B 种群的智能。

如图 03 所示，绿色和橙色的封闭图形对应的智能只存在部分交集，那么，对于拥有绿色封闭图形的智能对象而言，橙色封闭图形对应的对象就不具有智能，反之，橙色封闭图形对应的智能对象也不认为绿色封闭图形对应的对象有智能：

峰说 | 为什么地球上除了人之外其他动物为什么没有发展出高级智能？| 荒原之梦 | 图 03. — 图 03.

换句话说，图 03 中所示的情况就导致 A 种群不能确定 B 种群是否存在智能，B 种群也不能确定 A 种群是否存在智能。

当然，如图 04 所示，在自然世界中，还可能存在一些互相完全没有交集的智能对象（封闭图形），如果这一猜想成立，那么，“一块石头是否也是某种智能体”，就成为了一个需要讨论并严肃对待的论题了：

峰说 | 为什么地球上除了人之外其他动物为什么没有发展出高级智能？| 荒原之梦 | 图 04. — 图 04.

峰图 | 正态分布或许是一种“动态的平均分布”

一、前言

为什么正态分布（相关链接1，相关链接2）在自然世界中如此普遍？在本文中，「荒原之梦」就尝试从一种“动态的平均分布”的视角来理解正态分布的独特之处.

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对于 0 而言，正负都一样，左右不一样

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

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2022考研数二第09题解析：线性方程组、范德蒙行列式

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 解的情况为 $\left( \quad \right)$

»A« 无解

»B« 有解

»C« 有无穷多解或无解

»D« 有唯一解或无解

二、解析

本题中的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是一个非齐次线性方程组，对于非齐次线性方程组解的判断，需要用到该方程组 $n$ 阶系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$, 以及该方程组增广矩阵（或称“扩展矩阵”）的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$:

当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一的解；
当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) < n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有无穷多解；
当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) < \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 没有解.

于是——

解法 1：从系数矩阵入手

观察可知，本题中的非线性方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 其实对应于一个范德蒙行列式:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{pmatrix}
$$

又因为，矩阵的转置操作不会改变行列式的值，即：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}^{\top}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix}
$$

因此，由范德蒙行列式的计算公式，直接可得：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right)
\end{aligned}
$$

又因为题目所给的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵为：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & 2 \\ 1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix}
$$

所以：

当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \neq 0$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) \neq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\begin{rcases}
a \neq 1 \\
b \neq 1
\end{rcases} \leadsto \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ a \neq a^{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ b \neq b^{2} }
\end{cases} \\
a \neq b \leadsto \textcolor{lightgreen}{ a^{2} \neq b^{2} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
r\left(\boldsymbol{A}\right) = r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = 3
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时有唯一解.

当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 0$ 的时候，有：

$$
\left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) = 0
$$

也就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a = b$

换句话说，就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a=b=1$

以 $a=b=1$ 为例可知：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1
$$

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} \neq 1
$$

所以：

$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时无解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，或者无解，»D« 选项正确 .

解法 2：从增广矩阵入手

直接对方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵 $\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 作初等行变换：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & a^{2} & 2 \\
1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & a-1 & a^{2}-1 & 1 \\
0 & b-1 & b^{2}-1 & 3
\end{pmatrix}
$$

于是，分情况讨论可知：

当 $a=1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=1$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$, 该方程组无解；
当 $a=1$, $b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a\neq 1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a=b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
当 $a \neq 1$, $b \neq 1$, 且 $a \neq b$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, 该方程组有唯一解.

综上所述，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解的情况只有两种可能，即：有唯一解或无解，所以，»D« 选项正确 .