峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性

一、题目

难度评级：

二、解析

解法 1

由于：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} & = \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{E} \\ \\
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} \end{vmatrix} & = \frac{1}{\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}} = \frac{1}{3} \\ \\
\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} & = \frac{1}{\begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix}} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

又由于：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3
}
$$

解法 2

由解法 1 可知，只要我们能快速确定在 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 的两侧乘以什么可以将 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$, 就可以快速求解本题.

由于行列式本质上就是一个数值，所以，在本题中，我们可以在不涉及矩阵加法，只涉及乘法的时候，将矩阵看作一个数值去处理——

我们可以将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 写成 “$3$”, 将矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 写成 “$\frac{1}{3}$”, 将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 写成 “$2$”, 将矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 写成 “$\frac{1}{2}$”.

于是，将 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ 的过程，就是将 $\left( \frac{1}{3} + 2 \right)$ 变成 $\left( \frac{1}{2} + 3 \right)$ 的过程.

又因为：

$$
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + 2 \right) \cdot 3 = \left( \frac{1}{6} + 1 \right) \cdot 3 = \left( \frac{1}{2} + 3 \right)
$$

所以可知，在 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 的左边（或右边）乘以行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix}$, 在 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 的右边（或左边）乘以行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$, 就可以将 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$——

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3
}
$$

解法 3

在前面的两种解法中，我们都在一定程度上首先猜出来了要在 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 的两侧乘以什么样的行列式，那么，我们怎么猜出来的呢？

这就涉及到一个「荒原之梦考研数学」一直强调的必须明确的“第 0 步解析”（荒原之梦也称之为“盘古启发”）的问题，在解法 3 中，我们就来看看，如何不用“猜”的方式求解本题——

首先，将 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ 一共有 $4$ 种可能的变换方式：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \boldsymbol{A}
\end{aligned}
$$

于是——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在本题所给的条件下，要将矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 变成矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$, 有以下四种组合：

$$
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{B}^{-1} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在本题所给的条件下，要将矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 变成矩阵 $\boldsymbol{A}$, 有以下三种组合：

$$
\textcolor{gray}{
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}
\end{cases}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在本题所给的条件下，要将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 变成矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$, 有以下三种组合：

$$
\textcolor{gray}{
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}
\end{cases}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在本题所给的条件下，要将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 变成矩阵 $\boldsymbol{A}$, 有以下四种组合：

$$
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{B}^{-1} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

由于在将 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ 的过程中，无论在 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ 的左侧，还是右侧乘以一个行列式，都会导致 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都需要乘以这个行列式对应的矩阵，所以，下面两种变换一定用不上：

$$
\textcolor{gray}{
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1}
\end{aligned}
}
$$

在剩下的 $\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A}$ 的变换中，下面两种是匹配的（打对号的位置）：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{B}^{-1} \quad \textcolor{lightgreen}{\checkmark} \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} } \\
\textcolor{gray}{\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}} \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} }
\end{cases} \\ \\ \\
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\boldsymbol{A} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{B}^{-1} \quad \textcolor{lightgreen}{\checkmark} \\
\textcolor{gray}{\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} } \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} } \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

下面两种也是匹配的（打对号的位置）：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} } \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} } \\
\textcolor{gray}{\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}} \\
\boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} \quad \textcolor{lightgreen}{\checkmark}
\end{cases} \\ \\ \\
\boldsymbol{B} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{-1} } \\
\textcolor{gray}{\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} } \\
\textcolor{gray}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} } \\
\boldsymbol{B}^{-1} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{A} \quad \textcolor{lightgreen}{\checkmark}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \\ \\
= & \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{vmatrix} \boldsymbol{B}^{-1} + \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3
}
$$

---