2022考研数二第07题解析：定积分比大小

一、题目

»A« $I_{1} < I_{2} < I_{3}$

»B« $I_{2} < I_{1} < I_{3}$

»C« $I_{1} < I_{3} < I_{2}$

»D« $I_{3} < I_{2} < I_{1}$

难度评级：

二、解析

解法 1

观察可知，题干中给出的三个定积分的积分区间都是一致的，所以，要比较大小，只能比较被积函数的大小.

又因为：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{0}^{1} \frac{x}{2\left(1 + \cos x\right)} \mathrm{~d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \cos x} \cdot \textcolor{orange}{\frac{x}{2}} \mathrm{~d}x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \cos x} \cdot \textcolor{orange}{\ln \left(1 + x\right)} \mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是可知，要比较 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 的大小，就是要比较 $\textcolor{orange}{\frac{x}{2}}$ 和 $\textcolor{orange}{\ln \left( 1+x \right)}$ 的大小.

为了比较 $\frac{x}{2}$ 和 $\ln \left( 1+x \right)$ 的大小，我们可以构造下面的函数，并通过对其求导，完成比较大小：

$$
f\left(x\right) = \frac{x}{2} – \ln\left(1 + x\right)
$$

当然，也可以构造 $f\left(x\right) = \ln\left(1 + x\right) – \frac{x}{2}$ 这个函数，思路与计算过程与本解法类似.

于是：

$$
f^{\prime}\left(x\right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{1 + x} = \frac{x – 1}{2\left(1 + x\right)} < 0
$$

其中，$x \in \left(0, 1\right)$.

因此可知，函数 $f \left( x \right)$ 在区间 $\left( 0, 1 \right)$ 上单调递减.

又因为：

$$
f\left(0\right) = 0
$$

所以：

$$
f \left( x \right) < 0
$$

于是：

$$
\frac{x}{2} < \ln\left(1 + x\right)
$$

综上：

$$
\textcolor{lightgreen}{
I_{1} < I_{2}
}
$$

在接下来的解法 2、解法 3 和解法 4 中，判断 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 大小的方法都是使用的上面的方法.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着可知，要比较 $I_{2}$ 和 $I_{3}$，就是要比较 $\frac{\ln\left(1 + x\right)}{\left(1 + \cos x\right)}$ 与 $\frac{2x}{1 + \sin x}$ 的大小，其实就是要比较 $\frac{2\ln\left(1 + x\right)}{2\left(1 + \cos x\right)}$ 与 $\frac{2x}{1 + \sin x}$ 的大小.

首先，根据函数图象可知，当 $x \in \left(0, 1\right)$ 时，有：

$$
\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2}
$$

于是，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{2} > \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right)^{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ 4 \cos^{2} \frac{x}{2} > 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ 4 \cos^{2} \frac{x}{2} > 1 + \sin x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\cos^{2} \alpha = 1 + \cos 2 \alpha} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ 2 \left(1 + \cos x\right) > 1 + \sin x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{1}{2 \left(1 + \cos x\right)} < \frac{1}{1 + \sin x}
\end{aligned}
$$

又由前面的计算可知，当 $x \in \left( 0, 1\right)$ 时，$\ln \left(1 + x\right) < \frac{x}{2}$, 所以，当 $x \in \left( 0, 1\right)$ 时，有：

$$
2 \ln \left(1 + x\right) < 2x
$$

综上：

$$
\begin{aligned}
& \ \frac{1}{2 \left(1 + \cos x\right)} < \frac{1}{1 + \sin x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{2 \ln \left(1 + x\right)}{2 \left(1 + \cos x\right)} < \frac{2x}{1 + \sin x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{I_{2} < I_{3}}
\end{aligned}
$$

因此：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{
I_{1} < I_{2} < I_{3}
}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法 2

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 此外，使用同上的方法还可以证明，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 时，$\ln \left( 1 + x \right) < x$:

$$
\begin{aligned}
& \ f \left( x \right) = \ln \left( 1+x \right) – x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f ^{\prime} \left( x \right) = \frac{1}{1+x} – 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f ^{\prime} \left( x \right) = \frac{-x}{1+x}, \ \textcolor{gray}{ x \in \left( 0, 1 \right) } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{f ^{\prime} \left( x \right) \leqslant 0 \leadsto f \left( x \right) \text{ 单调递减}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f \left( 0 \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f \left( x \right) < 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \ln \left( 1+x \right) < x
\end{aligned}
$$

又由于，在 $\left( 0, 1 \right)$ 区间内，有：

$$
\begin{aligned}
\begin{rcases}
& 0 < \sin x \\
& \sin x < 1 \\
\end{rcases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 1 < 1 + \sin x < 2
\end{aligned}
$$

于是可知，对于 $I_{3}$ 的被积函数 $\dfrac{2x}{1 + \sin x}$, 有：

$$
\begin{aligned}
& \ \dfrac{2x}{1 + \sin x} > 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{x \in \left( 0, 1 \right)} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{
\dfrac{2x}{1 + \sin x} > x
}
\end{aligned}
$$

对于 $I_{2}$ 的被积函数 $\dfrac{\ln \left( 1 + x \right)}{1 + \cos x}$, 结合 $\ln \left( 1 + x \right) < x$ 可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\dfrac{\ln \left( 1 + x \right)}{1 + \cos x} < x
}
$$

于是：

$$
\dfrac{2x}{1 + \sin x} > x > \dfrac{\ln \left( 1 + x \right)}{1 + \cos x}
$$

因此：

$$
\textcolor{lightgreen}{
I_{3} > I_{2}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法 3

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，比较 $I_{2}$ 和 $I_{3}$, 令（$x\in\left(0, 1\right)$）：

$$
\begin{aligned}
g\left(x\right) & = \frac{\ln \left(1+x\right)}{1+\cos x}-\frac{2x}{1+\sin x} \\ \\
& = \frac{\ln \left(1+x\right)\left(1+\sin x\right)-2x\left(1+\cos x\right)}{\left(1+\cos x\right)\left(1+\sin x\right)}
\end{aligned}
$$

在上面的式子中，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 的时候，一定有：

$$
\left(1+\cos x\right)\left(1+\sin x\right) > 0
$$

所以，要判断 $g \left( x \right)$ 的正负，就要判断 $\ln \left(1+x\right)\left(1+\sin x\right)-2x\left(1+\cos x\right)$ 的正负，于是，令：

$$
\begin{aligned}
h\left(x\right) & = \ln \left(1+x\right)\left(1+\sin x\right)-2x\left(1+\cos x\right) \\ \\
& = \ln \left(1+x\right)-x+\sin x\cdot\ln \left(1+x\right)-x-2x\cos x
\end{aligned}
$$

在上面的式子中：

$$
\begin{aligned}
& \ln \left(1+x\right)-x<0 \\ \\
& \sin x\cdot\ln \left(1+x\right)-x<0 \\ \\
& -2x\cos x<0
\end{aligned}
$$

所以：

$$
g \left( x \right) < 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{lightgreen}{ I_{2}<I_{3} }
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法 4

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，判断 $I_{3}$ 和 $I_{1}$ 的大小——

首先，令：

$$
I_{3} – I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{x}{2 \left(1 + \cos x\right)}\mathrm{~d}x
$$

又由《高等数学/考研数学常用不等式》可知，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 的时候，有：

$$
\sin 2x > \sin x
$$

于是，分子相同的时候，分母越大，整个分式越小，即：

$$
\frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{x}{2 \left(1 + \cos x\right)} > \frac{2 x}{1 + \sin 2 x} – \frac{2 x}{4 \left(1 + \cos x\right)}
$$

又因为，当 $x \in \left( 0,1 \right)$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& 1 + \sin 2x < 2 \\
& 4 \left( 1+\cos x \right) < 4
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\frac{2 x}{1 + \sin 2 x} > \frac{2 x}{4 \left(1 + \cos x\right)}
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
& \ \frac{2 x}{1 + \sin 2 x} – \frac{2 x}{4 \left(1 + \cos x\right)} > 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{pink}{\frac{2 x}{1 + \sin x} } – \textcolor{orange}{ \frac{x}{2 \left(1 + \cos x\right)} } > 0
\end{aligned}
$$

综上：

$$
\textcolor{pink}{I_{3}} > \textcolor{orange}{I_{1}}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 类似地，判断 $I_{3}$ 和 $I_{2}$ 的大小——

首先，令：

$$
I_{3} – I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{\ln\left(1 + x\right)}{1 + \cos x}\mathrm{~d}x
$$

又由《高等数学/考研数学常用不等式》可知，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 的时候，有：

$$
\ln \left( 1+x \right) < x
$$

于是：

$$
\frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{\ln\left(1 + x\right)}{1 + \cos x} > \frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{x}{1 + \cos x} = \frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{2 x}{2 + 2 \cos x}
$$

又因为，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& 1 + \sin x < 2 \\
& 2 + 2 \cos x < 4
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \ \frac{2 x}{1 + \sin x} > \frac{2 x}{2 + 2 \cos x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \frac{2 x}{1 + \sin x} – \frac{2 x}{2 + 2 \cos x} > 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{pink}{\frac{2 x}{1 + \sin x}} – \textcolor{lightblue}{\frac{\ln\left(1 + x\right)}{1 + \cos x}} > 0
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\textcolor{pink}{I_{3}} > \textcolor{lightblue}{I_{2}}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
I_{3} > I_{2} > I_{1}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法 5

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 首先，当 $x \in \left( 0, 1 \right)$ 的时候，有：

$$
1 + x < 2
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\frac{x}{2} < \frac{x}{1+x}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，由《高等数学/考研数学常用不等式》可知，当 $t > 0$ 的时候：

$$
\ln t < t – 1
$$

令 $t = \frac{1}{1+x}$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \ \ln \left( \frac{1}{1+x} \right) < \frac{1}{1+x} – 1 \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \ln 1 – \ln \left( 1+x \right) < \frac{1-1-x}{1+x} \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ – \ln \left( 1+x \right) < \frac{-x}{1+x} \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \ln \left( 1+x \right) > \frac{x}{1+x} }
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 同样，由《高等数学/考研数学常用不等式》可知，当 $x > 0$ 的时候，有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\ln \left( 1+x \right) < x
}
$$

综上：

$$
\begin{aligned}
& \ \frac{x}{2} < \frac{x}{1 + x} < \ln\left(1 + x\right) < x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{
\frac{x}{2} < \frac{\ln\left(1 + x\right)}{1} < \frac{x}{1}
}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\frac{\textcolor{lightgreen}{x}}{\textcolor{lightgreen}{2} \left(1 + \cos x \right)} < \frac{\textcolor{lightgreen}{ \ln \left(1 + x\right) }}{1 + \cos x} < \frac{\textcolor{lightgreen}{x}}{1 + \cos x}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 又因为，当 $x \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$ 的时候：

$$
\sin x < \cos x
$$

所以，当 $x \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$ 的时候，分子一样大的话，分母越小，则整个分式越大，即：

$$
\frac{2x}{1 + \cos x} < \frac{2x}{1 + \sin x}
$$

虽然，当 $x \in \left( \frac{\pi}{4}, 1 \right)$ 的时候，有：

$$
\frac{2x}{1 + \cos x} > \frac{2x}{1 + \sin x}
$$

但是，做从 $0$ 到 $1$ 的积分的时候，在 $\left( \frac{\pi}{4}, 1 \right)$ 区间上 $\frac{2x}{1 + \cos x}$ 比 $\frac{2x}{1 + \sin x}$ 大的那一点，完全无法赶超在 $\left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$ 区间上 $\frac{2x}{1 + \sin x}$ 比 $\frac{2x}{1 + \cos x}$ 大的部分，所以，仍然有：

$$
\int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \cos x} < \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \sin x}
$$

于是：

$$
\textcolor{orange}{\int_{0}^{1} \frac{x}{2\left(1 + \cos x\right)}} < \textcolor{lightblue}{\int_{0}^{1} \frac{\ln\left(1 + x\right)}{1 + \cos x} } < \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + \cos x} < \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \cos x} < \textcolor{pink}{\int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \sin x} }
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 综上：

$$
\textcolor{orange}{I_{1}} < \textcolor{lightblue}{I_{2}} < \textcolor{pink}{I_{3}}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

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