反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式

一、前言

由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.

二、正文

设 $a > 0$, 令：

$$
x = \frac{1}{t}
$$

则：

$$
t = \frac{1}{x}, \ \mathrm{~d} t = \frac{-1}{x^{2}} \mathrm{~d} x
$$

于是，如果 $t \in \left( 0^{+}, a \right)$, 则：

$$
x \in \left( + \infty, \frac{1}{a} \right)
$$

因此：

$$
\int_{0}^{a} t^{p} \mathrm{~d} t = \int_{+\infty}^{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{x} \right)^{p} \left( \frac{-1}{x^{2}} \right) \mathrm{~d} x = \int_{+\infty}^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^{p+2}} \mathrm{~d} x
$$

接着，根据前面有关敛散性的公式可知：

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{+\infty}^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^{p+2}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p+2 > 1 \\
\text{发散}, & p+2 \leqslant 1
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \int_{+\infty}^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^{p+2}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > -1 \\
\text{发散}, & p \leqslant -1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

因此可得，推论公式为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int_{0}^{a} t^{p} \mathrm{~d} t \begin{cases}
\text{收敛}, & p > -1 \\
\text{发散}, & p \leqslant -1
\end{cases}
}
$$

其中，$\textcolor{lightgreen}{ a > 0 }$.

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