与积分的敛散性相关的概念：奇性、瑕积分、反常积分

一、前言

普通的定积分通常不需要专门讨论其敛散性，因为只要被积函数是连续的，这个定积分就一定收敛.

但是，还存在一类不一定收敛的积分（当然也不一定发散），就是“反常积分”，这个时候就需要讨论敛散性了——

反常积分的敛散性问题，本质上是一个极限问题，如果反常积分的极限存在，就说这个反常积分收敛，如果极限不存在，就说这个反常积分发散.

在本文中，「荒原之梦考研数学」会将这些与积分敛散性有关的一些概念做一个详细的梳理和讲解.

二、正文

什么是“奇性”？

所谓“奇性”就是：函数在某个点附近没有“普通”的函数值，即：

• 函数值不存在（函数在该点处没有定义）；
• 函数值趋于正无穷大 $+ \infty$;
• 函数值趋于负无穷大 $- \infty$.

存在奇性的点也被称为“奇点”或者“瑕点”.

什么是“瑕积分”？

所谓“瑕积分”就是：积分区间（积分的上下限）一般是有限的，但被积函数在区间内某点或端点处存在奇性.

例如，对于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$, 在 $x=0$ 处，有：

$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty
$$

所以这不是普通定积分，而是瑕积分：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

如果 $\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$ 这个极限存在，我们就说这个瑕积分收敛；否则就说这个瑕积分发散.

需要注意的是，函数在某点趋于无穷，不代表积分一定发散.

关于这一问题，我们可以简单地理解为：趋于无穷的速度快（函数图象与坐标轴围起来的面积不会无限增长），就可能不发散，趋于五穷的速度慢（函数图象与坐标轴围起来的面积无限增长），就可能发散.

例如，对于下面的积分，虽然被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 处趋于无穷大，但是，该积分是收敛的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

而对于下面的积分，被积函数 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处也趋于无穷大，但是，该积分是发散的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$

什么是“反常积分”？

反常积分一般包括两类：

1. 积分区间无限的反常积分，例如：

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d}x
$$

2. 积分区间有限，但被积函数有奇性的反常积分（也被称为瑕积分），例如：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$

奇性和积分的敛散性有什么关系？

对于一个反常积分，只要有一个地方发散，整体就发散，而存在奇性的点很可能存在发散现象，所以，在判断反常积分敛散性的时候，我们要格外注意存在奇性的点.

例如，若 $x=0$ 和 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 存在奇性的点（奇点），那么，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，就必须将积分区间分开看：

$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

只有 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这两个积分都收敛，原来的整个积分才收敛；如果其中一个发散，那么原来的整个积分就发散.

当然，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，我们也可以拆成下面这样的形式：

$$
\int_{0}^{\xi} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\xi}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

其中，$\xi \in \left( 0, 1 \right)$.

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