荒原之梦 - 第105页共241页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $0$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $0$.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 高等数学 — 图 01. 红色曲线表示函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 的图像，蓝色曲线表示函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ 在 $x$ 轴正半轴上的图像.

中间无界的瑕积分（B007）

问题

已知 $\textcolor{Orange}{c}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{c}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c – \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{c – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{\mu \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{c + \mu}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\xi} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Orange}{\xi}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{\mu} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{0}^{\textcolor{Red}{+}}} \int_{\textcolor{Red}{c} \textcolor{Green}{+} \textcolor{Orange}{\mu}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$ 注意：当 $\xi$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $-$ $\xi$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{-}}$; 当 $\mu$ $\rightarrow$ $0^{\textcolor{Red}{+}}$ 时，$($ $c$ $+$ $\mu$ $)$ $\rightarrow$ $c^{\textcolor{Red}{+}}$

下界无界的瑕积分（B007）

问题

若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{a^{+}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a – \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a + \xi}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a + \xi}^{bi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

上界无界的瑕积分（B007）

问题

若当 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\rightarrow}$ $\textcolor{Orange}{b^{-}}$ 的时候，函数 $f(x)$ 无界，则以下关于瑕积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{-}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b – \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}$ $\int_{a}^{b + \xi}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

第三类无穷限的反常积分：$\int_{-\infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{c}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{- \infty}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Red}{+ \infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$

$$\lim_{\textcolor{Yellow}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{- \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{c}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{+}$$ $$\lim_{\textcolor{Yellow}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Red}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Yellow}{c}}^{\textcolor{Yellow}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$

第二类无穷限的反常积分：$\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{- \infty}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[B]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[C]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow – \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[D]. $\int_{- \infty}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow – \infty}$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{- \infty}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{a} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{- \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrel{d} x$$

每日一题：计算 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}}$

一、题目描述

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} = ?
$$

继续阅读

第一类无穷限的反常积分：$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

以下关于无穷限的反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{a \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow + \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lim_{b \rightarrow \infty}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{+\infty}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\lim_{\textcolor{Orange}{b} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+ \infty}} \int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$

反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言，必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是，在区间 $[-1, 1]$ 内，定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分，瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候，被积函数不能包含瑕点，所以，我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。

二、示意图像

函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下：

反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法 | 荒原之梦 — 图 01.

继续阅读

反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

直接来看，这是一个上限趋于无穷的的反常积分，但其实，由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$, 因此，该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用：

我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$, 并使 $s$ $\rightarrow$ $0^{+}$, $t$ $\rightarrow$ $\infty$, 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。

同时，由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质，因此，我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。

继续阅读

定积分的特殊分部积分公式（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{u(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且具有导函数 $\textcolor{Orange}{u ^{\prime}(x)}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{u(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $x$ $u ^{\prime} (x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $u(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $x$ $u(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $x ^{\prime}$ $u (x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{u}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{x} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u}(x) \Bigg|_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{u} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} (x) \mathrm{d} x.$$

定积分的广义分部积分公式（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 和 $\textcolor{Orange}{M(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上具有连续的导函数 $\textcolor{Orange}{F ^{\prime}(x)}$ 和 $\textcolor{Orange}{M ^{\prime}(x)}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{M ^{\prime}(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F ^{\prime}(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $F(x)$ $M ^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(x)$ $M(x)$ $|_{a}^{b}$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $F ^{\prime}(x)$ $M(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \Bigg[ \textcolor{Red}{F}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}}(x) \Bigg] \mathrm{d} x =$$ $$\Bigg[ \textcolor{Red}{F}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M}(x) \Bigg] \Bigg|_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \Bigg[ \textcolor{Red}{F} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}}(x) \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{M}(x) \Bigg] \mathrm{d} x.$$

定积分的换元法（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且函数 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 满足如下两个条件：
一、函数 $\phi ^{\prime} (t)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $\phi ^{\prime} (t)$ $\neq$ $0$;
二、函数 $\phi(\alpha)$ $=$ $a$, $\phi(\beta)$ $=$ $b$, 并且，当 $t$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上变化时，$\phi(t)$ 的值在区间 $[a, b]$ 上变化。

则：以下使用函数 $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 对定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 进行换元的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{b}} \textcolor{Red}{f}(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \mathrm{d} [\textcolor{Red}{\phi} (\textcolor{Red}{t})] =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{\phi} ^{\textcolor{Orange}{\prime}} (\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} t.$$注意：对定积分的换元，不仅要更换自变量 $x$, 还要对应的更换积分上下限.

华里士点火公式（奇数）（B007）

问题

当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [奇数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$

[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{2}}{\textcolor{Red}{3}} \cdot \textcolor{Red}{1}.$$

华里士点火公式（偶数）（B007）

问题

当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [偶数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$

[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{2}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{\pi}}{\textcolor{Red}{2}}.$$