曲线 $y(x)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积(B007)

问题

如下图所示,橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线 $y$ $=$ $y(x)$ 与直线 $x$ $=$ $a$, $x$ $=$ $b$ 以及 $x$ 轴所围成的,那么,该平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V_{x}$ 与 $V_{y}$ 是多少?

曲线 $y(x)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积 | 荒原之梦

选项

[A].   $\begin{cases} & V_{x} = 2 \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$

[B].   $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$

[C].   $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x \cdot y(x) \mathrm{d} x \end{cases}$

[D].   $\begin{cases} & V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) \mathrm{d} x \\ & V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x|y(x)| \mathrm{d} x \end{cases}$



显示答案

$\begin{cases} & V_{\textcolor{Orange}{x}} = \textcolor{Yellow}{\pi} \textcolor{Green}{\cdot} \int_{\textcolor{cyan}{a}}^{\textcolor{cyan}{b}} \textcolor{Red}{y^{2}(x)} \mathrm{d} x \\ & V_{\textcolor{Orange}{y}} = \textcolor{Yellow}{2} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Yellow}{\pi} \int_{\textcolor{cyan}{a}}^{\textcolor{cyan}{b}} \textcolor{Red}{x} \textcolor{green}{\cdot} \textcolor{Red}{|y(x)|} \mathrm{d} x \end{cases}$

利用定积分计算以极坐标系为基准的平面图形面积(B007)

问题

如下图所示,如何用定积分表示由极坐标系下的函数 $r(\theta)$ 和 $R(\theta)$ 与极角 $\alpha$ 和 $\beta$ 所对应的极径之间围成的平面图形的面积 $S$?

利用定积分计算以极坐标系为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A].   $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $|R^{2}(\theta) – r^{2}(\theta)|$ $\mathrm{d} \theta$

[B].   $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[r^{2}(\theta) – R^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$

[C].   $S$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[R^{2}(\theta) – r^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$

[D].   $S$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $[R^{2}(\theta) + r^{2}(\theta)]$ $\mathrm{d} \theta$



显示答案

$S$ $=$ $\frac{\textcolor{Orange}{1}}{\textcolor{Orange}{2}}$ $\int_{\textcolor{Orange}{\alpha}}^{\textcolor{Orange}{\beta}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{R^{2}(\theta)} \textcolor{\Green}{-} \textcolor{Red}{r^{2}(\theta)}$ $\big]$ $\mathrm{d} \textcolor{Yellow}{\theta}$

利用定积分计算以 $y$ 轴为基准的平面图形面积(B007)

问题

如下图所示,如何用定积分表示由函数 $\Omega(x)$ 和 $\Delta(x)$ 以及直线 $y$ $=$ $a$ 和 $y$ $=$ $b$ 所围成的平面图形的面积 $S$?

利用定积分计算以 $y$ 轴为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A].   $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $[\Omega(x) + \Delta(x)]$ $\mathrm{d} x$

[B].   $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $| \Omega(x) + \Delta(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C].   $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $[\Omega(x) – \Delta(x)]$ $\mathrm{d} x$

[D].   $S$ $=$ $\int_{c}^{d}$ $| \Omega(x) – \Delta(x) |$ $\mathrm{d} x$



显示答案

$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{c}}^{\textcolor{Orange}{d}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{Red}{\Omega(x)} – \textcolor{cyan}{\Delta(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

或者写成:
$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{c}}^{\textcolor{Orange}{d}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{cyan}{\Delta(x)} – \textcolor{Red}{\Omega(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积(B007)

问题

如下图所示,如何用定积分表示由函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及直线 $x$ $=$ $a$ 和 $x$ $=$ $b$ 所围成的平面图形的面积 $S$?

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A].   $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) + g(x)]$ $\mathrm{d} x$

[B].   $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) + g(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C].   $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) – g(x)]$ $\mathrm{d} x$

[D].   $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) – g(x) |$ $\mathrm{d} x$



显示答案

$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{Red}{f(x)} – \textcolor{cyan}{g(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

或者写成:
$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{cyan}{g(x)} – \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

无界函数反常积分的条件收敛(B007)

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[C].   $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[D].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散,但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛



显示答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无界函数反常积分的绝对收敛(B007)

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B].   $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛,$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C].   $\int_{a}^{b}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D].   $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛



显示答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛,则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无穷限反常积分的条件收敛(B007)

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛?

选项

[A].   $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[B].   $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散,但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛

[C].   $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D].   $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散



显示答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛,但 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无穷限反常积分的绝对收敛(B007)

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛?

选项

[A].   $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B].   $|$ $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛,$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C].   $\int_{a}^{+\infty}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D].   $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛,$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛



显示答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛,则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无界函数反常积分的极限审敛法:$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续,$x$ $=$ $a$ 为其瑕点,且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性结论中,正确的是哪个?

选项

[A].   若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[B].   若有 $\lambda$ $=$ $0$ 或 $\lambda$ $<$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[C].   若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D].   若有 $\lambda$ $\geqslant$ $0$ 或 $\lambda$ $\neq$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛



显示答案

若有 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 或 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{+ \infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Orange}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 发散

无界函数反常积分的极限审敛法:$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续,$x$ $=$ $a$ 为其瑕点,且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 敛散性的结论中,正确的是哪个?

选项

[A].   若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x+a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$(其中,$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$)成立,则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B].   若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$(其中,$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$)成立,则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C].   若有 $0$ $>$ $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$(其中,$0$ $\geqslant$ $\lambda$ $>$ $+\infty$)成立,则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D].   若有 $-1$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$(其中,$1$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$)成立,则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛



显示答案

若有 $\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{p}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{1}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Yellow}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$(其中,$\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{+\infty}$)成立,则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛

无界函数反常积分的比阶审敛法(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 内的任意有限区间上可积,$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负,且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中,完全正确的是哪一项?

在这里,我们令:
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

选项

[A].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[B].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 发散则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 发散


[C].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 发散


[D].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时, $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛




显示答案

当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{\neq}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 与 $\textcolor{Red}{G}$ 的敛散性相同
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时, $\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{\infty}$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛

无界函数反常积分的比较判敛法(B007)

问题

为方便描述,我们这里令:
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续,$x$ $=$ $a$ 为瑕点,且 $0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$, 则以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   
若 $F$ 收敛,则 $G$ 收敛
若 $F$ 发散,则 $G$ 发散


[B].   
若 $G$ 收敛,则 $F$ 发散
若 $F$ 发散,则 $G$ 发散


[C].   
若 $G$ 收敛,则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散,则 $G$ 收敛


[D].   
若 $G$ 收敛,则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散,则 $G$ 发散




显示答案


若 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛,则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
若 $\textcolor{Orange}{F}$ 发散,则 $\textcolor{Red}{G}$ 发散

其中:

$0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$

$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$

$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

无穷限反常积分的极限审敛法:$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续,且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中,正确的是哪一项?

选项

[A].   若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $-\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[B].   若有 $\lambda$ $<$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[C].   若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D].   若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散



显示答案

若有 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Orange}{0}$ 或者 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

无穷限反常积分的极限审敛法:$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$(B007)

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续,且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中,正确的是哪一项?

选项

[A].   若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B].   若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[C].   若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D].   若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛



显示答案

若有 $\textcolor{Orange}{p}$ $\textcolor{Orange}{>}$ $\textcolor{Orange}{1}$, 使得 $\lim_{\textcolor{Orange}{x} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+\infty}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 其中 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Orange}{<}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛.

无穷限反常积分的比阶审敛法(B007)

问题

为了方便描述和练习,我们在这里令:
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$
$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 内的任意有限区间上可积,$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负,且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[B].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[C].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 发散则 $G$ 发散


[D].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛




显示答案

(1)当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ 为不等于 $0$ 的常数,则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 在大小上并没有产生不同级别的差距,因此具有相同的敛散性.

(2)当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $0$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远小于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“大收小必收”,于是可知,较大的 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛就意味着较小的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定收敛.

(3)当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $\infty$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远大于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“小发大必发”,于是可知,较小的 $\textcolor{Red}{G}$ 发散就意味着较大的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定发散.