你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

一、题目

二、解析

解法一：驻点的定义

首先：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|\\ \\ & =\ln |x-1|+\ln |x-2|+\ln |x-3|\end{array}$$

所以，对 $f(x)$ 求导可得：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\\ \\ & =\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}+\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\\ & +\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\\ \\ & =\frac{3x^2–12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}\end{array}$$

接着，令 $f^{\prime }(x)$ $=$ $0$, 则：

$$\begin{array}{rl}& 3x^2–12x+11=0\\ \\ ⇝& \mathrm{\Delta }=(-12{)}^2–4\times 3\times 11\\ \\ ⇝& 12\times 12–12\times 11\\ \\ ⇝& \mathrm{\Delta }>0\end{array}$$

由于一元二次方程 $3x^2$ $-$ $12x$ $+$ $11$ $=$ $0$ 的判别式 $\mathrm{\Delta }>0$, 于是可知，该一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1$, $x_2$, 使得：

$$f^{\prime }(x_1)=0,f^{\prime }(x_2)=0$$

那么，根据上面的结果，是否就可以说 $x=x_1$ 和 $x=x_2$ 是函数 $f(x)$ 的两个驻点？

这就涉及有关驻点的深层定义问题了。

我们说，“一阶导等于零的点一定是驻点”其实隐含着两个条件：

1. 在该点处函数可导（或者说导数存在）；
2. 在该点处的导数等于零。

所以，我们还需要确定一下，导数 $f^{\prime }(x_1)$ 和 $f^{\prime }(x_2)$ 是否都存在，或者说，需要确定一下，$x_1$ 和 $x_2$ 这两个点是否是函数 $f(x)$ 的不可导点。

由于一阶导 $f^{\prime }(x)$ $=$ $\frac{3x^2–12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ 没有绝对值等容易产生不可导点的组成部分，所以，使 $f^{\prime }(x)$ 不存在的点就是 $f^{\prime }(x)$ 无定义的点，即：

$$(x-1)(x-2)(x-3)=0⇝\{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=3\end{array}$$

将上面的点带入 $f^{\prime }(x)$ 可知：

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(1)\ne 0\\ & f^{\prime }(2)\ne 0\\ & f^{\prime }(3)\ne 0\end{array}$$

所以可知：

$$x_1,x_2\notin 1,2,3$$

于是可知，函数从而可知，函数 $f(x)$ 的驻点有两个，即 $x_1$ 和 $x_2$

综上可知，本题应选 B.

解法二：罗尔定理

本题并不能直接使用传统的罗尔定理求解。

但是，如果使用「荒原之梦考研数学」首次提出的扩展的罗尔定理，则可以很方便的进行求解，详细内容可以查阅《在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用》这篇文章。

解法三：画图

本题不适合使用画图法求解。

为什么画图法不可行？因为本题是一个具体的函数，我们不能通过举一些其他函数的特例来判断本题中函数的性质。

而对于本题中的具体函数，我们只能对其性质做一些粗略的判断，难以在不借助计算机软件的情况下，画图其较为精确的函数图像。

此外，画图可知，零点之间并不一定存在驻点，详细内容可以查阅《有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？》这篇文章。

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