X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系

一、题目题目 - 荒原之梦

若函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义,则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$, $\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分必要条件吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一:逻辑分析法

为了搞明白这道题目,我们首先应该清楚,对于二元函数 $f(x, y)$ 而言,$f(x, 0)$ 是什么——

例如,对于二元函数 $z(x, y) = x^{2} + y^{2}$, 其是一个构建于 $ZXY$ 三维空间的曲面,示意图如下(橙色部分为坐标轴、辅助线和辅助标识):

X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系 | 荒原之梦
图 01.
图 01 Gnuplot 代码 | 点击可以展开
set term wxt size 800,600  # 设置绘图窗口尺寸
set xlabel "{/:Bold=15 x}" textcolor rgb "orange"  # 设置x轴标签
set ylabel "{/:Bold=15 y}" textcolor rgb "orange"  # 设置y轴标签
set zlabel "{/:Bold=15 z}" textcolor rgb "orange"  # 设置z轴标签
set view 60, 30           # 设置视角
set hidden3d              # 启用3D隐藏线算法
set style line 1 lc rgb "green" lw 2  # 设置函数图象线条样式
set border lc rgb "orange" lw 2  # 设置边框样式
set tics textcolor rgb "orange"  # 设置刻度线标签颜色
set key off  # 关闭图例
set style fill transparent solid 0.5  # 设置背景透明度
set zeroaxis lt -1 lc rgb "orange"  # 设置零点辅助线样式

# 定义函数
f(x, y) = x**2 + y**2

# 设置x轴和y轴范围
set xrange[-5:5]
set yrange[-5:5]

# 绘制图形
splot f(x, y) with lines ls 1

进而,$z(x, 0) = x^{2}$ 或者说 $z(x) = x^{2}$ 就是定义在 $ZOX$ 平面直角坐标系中的二维曲线,示意图如下(橙色部分为坐标轴、辅助线和辅助标识):

X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系 | 荒原之梦
图 02.
图 02 Gnuplot 代码 | 点击可以展开
set term wxt size 800,600  # 设置绘图窗口尺寸
set xlabel "{/:Bold=15 x}" textcolor rgb "orange"  # 设置x轴标签
set ylabel "{/:Bold=15 z}" textcolor rgb "orange"  # 设置y轴标签
set view 0, 0            # 设置视角
set style line 1 lc rgb "green" lw 2  # 设置函数图象线条样式
set border lc rgb "orange" lw 2  # 设置边框样式
set tics textcolor rgb "orange"  # 设置刻度线标签颜色
set key off  # 关闭图例
set style fill transparent solid 0.5  # 设置背景透明度

# 定义函数
f(x) = x**2

# 绘制图形
set xrange[-5:5]
set yrange[0:25]
plot f(x) with lines ls 1

综上,我们知道,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 表示的含义就是:

函数 $f(x, y)$ 在 $X$ 轴分量上的偏导数在点 $(0,0)$ 处存在且连续。

同理,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(x, 0)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 表示的含义就是:

函数 $f(x, y)$ 在 $Y$ 轴分量上的偏导数在点 $(0,0)$ 处存在且连续。

但是,虽然由点 $(0,0)$ 位于 $X$ 轴和 $Y$ 轴上的切线,也就是 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 能确定一个平面,但是,这并不能保证点 $(0,0)$ 处其他方向上的切线也在这个平面上——只有点 $(0,0)$ 处所有方向上的切线都在同一个平面上,我们才能说,函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微——因为二元函数中的微分就是用很多小平面代替曲面,一个点处只能有一个微分平面产生。

反过来说,由函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微,我们只能得出函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处任意方向上的偏导数都存在的结论(当然也就说明该点 $X$ 轴分量和 $Y$ 轴份量上的偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和 $f^{\prime}_{y}$ 存在)——但是,由《一点处的(偏)导数存在不能说明该(偏)导数在该点处连续》这篇文章可知,我们由此无法得出偏导数在该点处连续的结论,即:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0) \neq f_{x}^{\prime}(0,0)
$$

$$
\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y) \neq f_{y}^{\prime}(0,0)
$$

方法二:反例法

反例一

设:

$$
g(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
x y, & x y \neq 0 \\
1, & x y=0
\end{array}\right.
$$

则:

$$
g_{x}^{\prime}(x, y)=x \quad g_{y}^{\prime}(x, y)=y \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y=0}} g_{x}^{\prime}(x, 0)=0=g_{x}^{\prime}(0,0)
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x=0 \\
y \rightarrow 0}} g_{y}^{\prime}(0, y)=0=g_{y}^{\prime}(0,0)
$$

但是,由于函数 $g(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处以及 $X$ 轴和 $Y$ 轴上方都是“锋利的棱”,根据《可微可导连续“三角恋”》这篇文章可知,函数 $g(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是不可能可微的。

函数 $g(x,y)$ 的图象(角度 1:绕 X 轴逆时针旋转 60 度,绕 Z 轴逆时针旋转 50 度):

X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系 | 荒原之梦
图 03.
图 03 Gnuplot 代码(角度 1)| 点击可以展开
set terminal wxt enhanced font "arial,10" fontscale 1.0 size 600, 600

set border linewidth 1.5 linecolor rgb '#FFA500'  # 橙色
set tics textcolor rgb '#FFA500'  # 橙色
set style line 1 lc rgb '#008000' lt 1 lw 2  # 绿色

# 定义分段函数
z(x,y) = x*y != 0 ? x*y : 1

# 设置绘图范围和密度
set xrange [-30:30]
set yrange [-30:30]
set zrange [-30:30]
set isosamples 80, 80  # 设置绘图密度

# 设置视角
set view 60, 50, 1.0, 1.0

# 绘制 z(x, y)
splot z(x, y) with lines linestyle 1

# 添加过 x=0 点且平行于 y 轴的坐标轴
set arrow from 0, graph 0, first 0 to 0, graph 1, first 0 nohead linecolor rgb '#FFA500'

pause -1

函数 $g(x,y)$ 的图象(角度 2:绕 X 轴逆时针旋转 60 度,绕 Z 轴逆时针旋转 10 度):

X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系 | 荒原之梦
图 04.
图 04 Gnuplot 代码(角度 2)| 点击可以展开
set terminal wxt enhanced font "arial,10" fontscale 1.0 size 600, 600

set border linewidth 1.5 linecolor rgb '#FFA500'  # 橙色
set tics textcolor rgb '#FFA500'  # 橙色
set style line 1 lc rgb '#008000' lt 1 lw 2  # 绿色

# 定义分段函数
z(x,y) = x*y != 0 ? x*y : 1

# 设置绘图范围和密度
set xrange [-30:30]
set yrange [-30:30]
set zrange [-30:30]
set isosamples 80, 80  # 设置绘图密度

# 设置视角
set view 60, 10, 1.0, 1.0

# 绘制 z(x, y)
splot z(x, y) with lines linestyle 1

# 添加过 x=0 点且平行于 y 轴的坐标轴
set arrow from 0, graph 0, first 0 to 0, graph 1, first 0 nohead linecolor rgb '#FFA500'

pause -1

反例二

设:

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}
\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0, & (x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
$$

则:

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}}-0}{x}=x \sin \frac{1}{x^{2}}=0
$$

由对称性可知:

$$
f_{y}^{\prime}(0,0) = 0
$$

则,根据可微的判定公式

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-\left[f_{x}^{\prime}(0,0) \Delta x+f_{y}^{\prime}(0,0) \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}} =
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \cdot \sin \frac{1}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=0
$$

因此可知,函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是可微的。

但是,当 $x y \neq 0$, $y = 0$ 时:

$$
f^{\prime \prime}(x, 0) = x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f_{x}^{\prime}(x, 0)=2 x \cdot \sin \frac{1}{x^{2}}+x^{2} \cos \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{-2 x}{x^{4}}
$$

$$
f_{x}^{\prime}(x, 0)=2 x \cdot \sin \frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=\frac{-2}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow \text{极限不存在}
$$

进而可知,偏导数 $f^{\prime}_{x}(x,0)$ 在点 $(0,0)$ 处不可能连续,即:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0) \neq f_{x}^{\prime}(0,0)
$$

$$
\lim \limits_{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y) \neq f_{y}^{\prime}(0,0)
$$


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