题目 01
已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
难度评级：
解析 01
由于：
$$
0 \leqslant\left|\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant\left|\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) y}{x^{2}+y^{2}}\right|=|y| \rightarrow 0
$$
因此：
$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}=0 \\ f_{x}^{\prime}(0,0)=
$$
接着，我们验证该二元函数的偏导数是否都存在：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{0-0}{\Delta x}=0
$$
$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{0-0}{\Delta y}=0
$$
于是可知，该二元函数的偏导数都存在。
但是，偏导数都存在并不能说明该二元函数在这点处可微，要想可微，还必须满足《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！》这篇文章中的公式，于是：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)]-\left[f_{x}^{\prime}(0,0)+f_{y}^{\prime}(0,0)\right]}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}} =
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{(\Delta x)^{2} \cdot \Delta y}{\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}
$$
接着，令 $\Delta y=\Delta x$, 则有：
$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{3}}{\left[2(\Delta x)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=
$$
$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{3}}{2 \sqrt{2}(\Delta x)^{3}}
$$
则：
$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{(\Delta x)^{3}}{2 \sqrt{2}|\Delta x|^{3}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}
$$
$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\Delta x)^{3}}{2 \sqrt{2}|\Delta x|^{3}}=\frac{-1}{2 \sqrt{2}}
$$
由于：
$$
\frac{1}{2 \sqrt{2}} \neq \frac{-1}{2 \sqrt{2}} \neq 0
$$
因此可知，由判断是否可微的公式得到的式子不仅极限不为零，而且极限不存在，因此，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处不可微。