在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用

一、前言

罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。

二、正文

我对无穷意义上罗尔定理的思考来源于一道题目：

传统的罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[a,b]$ 上连续；在开区间 $(a,b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$, 则至少有一个点 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$.

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为了方便同学们对接下来内容的理解，我们首先首先将 $g(x)$ $=$ $\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的函数图像示意图绘制出来，如图 01 所示：

从上图可以看出，函数 $g(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上存在两个驻点 $\alpha$ 和 $\beta$.

按照传统罗尔定理的解题要求，如果要找到函数 $g(x)$ 的驻点，就需要找到一些自变量的取值，使得对应的函数值相等，例如：

$$\{\begin{array}{l}g(x)=1\\ g(x)=0\\ g(x)=-1.5\end{array}$$

如图 02 所示，当 $g(x)=1$ 时，我们能找到 $2$ 个交点 $i$, $j$; 当 $g(x)=0$ 时，我们能找到 $2$ 个交点 $a$, $b$; 当 $g(x)=-1.5$ 时，我们能找到 $6$ 个交点 $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$.

然而，事实上，要通过纯粹的手算，计算出满足 $g(x)=1$ 或者 $g(x)=-1.5$ 的自变量的取值，是一件颇具难度的事。

虽然计算 $g(x)=0$ 就是计算 $|(x-1)(x-2)(x-3)|=1$, 也就是计算下面两个一元三次方程：

$$\begin{array}{rl}& (x-1)(x-2)(x-3)=1\\ & (x-1)(x-2)(x-3)=-1\end{array}$$

但是，通过上面的一元三次方程，我们只能找到两个解：

$$\begin{array}{rl}& x_1\simeq 0.67528\\ & x_2\simeq 3.32472\end{array}$$

然而，即便不考虑在区间 $(x_1,x_2)$ 上还存在着函数 $g(x)$ 的三个不可导点 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, 我们也只能根据传统的罗尔定理判断出在区间 $(x_1,x_2)$ 至少存在一个驻点这一结论，离确定函数 $g(x)$ 存在两个驻点这一事实还有相当的差距。

其实，只要我们对罗尔定理的使用条件稍作更改，就可以很方便的找到函数 $g(x)$ 的两个驻点，而不是一个驻点。

扩展的罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足在区间 $(a,b)$ 上连续且可微分；在区间端点处附近的函数极限值相等，即 $\underset{x\to a}{lim}f(a)=\underset{x\to b}{lim}f(b)$, 或者 $\underset{x\to a}{lim}f(a)$ 和 $\underset{x\to b}{lim}f(b)$ 互为同阶且同正负的无穷大或者无穷小，则至少有一个点 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$.

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同时，对于对数函数 $\ln$ 而言：

$$\underset{x\to 0}{lim}\ln x=-\mathrm{\infty }$$

同时，当 $k_1$ 和 $k_2$ 为常数的时候，极限 $\underset{x_1\to 0}{lim}\ln \left(k_1{x}_1\right)$ 和极限 $\underset{x_2\to 0}{lim}\ln \left(k_2{x}_2\right)$ 互为同阶无穷大。

于是可知，当我们用传统的罗尔定理不太容易找出函数 $g(x)$ 中的驻点时，就可以使用上面扩展的罗尔定理来寻找驻点。

如图 03 所示，对于函数 $g(x)$ $=$ $\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$, 我们有：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 1}{lim}g(x)=\underset{x\to 1}{lim}\ln |2(x-1)|\to –\mathrm{\infty }\\ \\ & \underset{x\to 2}{lim}g(x)=\underset{x\to 2}{lim}\ln |-1(x-2)|\to –\mathrm{\infty }\\ \\ & \underset{x\to 3}{lim}g(x)=\underset{x\to 3}{lim}\ln |2(x-3)|\to –\mathrm{\infty }\end{array}$$

于是可知，$\underset{x\to 1}{lim}g(x)$, $\underset{x\to 2}{lim}g(x)$ 和 $\underset{x\to 3}{lim}g(x)$ 是三个同阶同正负的无穷大量。

因此，根据本文中扩展后的罗尔定理可知，函数 $g(x)$ 在区间 $(1，2)$ 上存在至少一个驻点，在区间 $(2,3)$ 上存在至少一个驻点。

从上面的计算过程可以看到，使用扩展之后的罗尔定理对类似 $g(x)$ 这种函数进行驻点存在性的判断，会变得非常便捷迅速。

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