微分中的一个定理：$ds=1$

一、题目

二、解析

若设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（根据常数 $C_i$ 取值的不同，$f(x)$ 事实上有无数个原函数：$F(x)+C_1$, $F(x)+C_2$, $F(x)+C_3$, $\cdots$），则有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& F^{\prime }(x)=f(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\end{array}$$

又根据微分的定义可知，函数 $F(x)$ 的微分 $\mathrm{d}F(x)$ 等于该函数的导数 $F^{\prime }(x)$ 乘以自变量 $x$ 的微分 $\mathrm{d}x$, 即：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{d}F(x)=F^{\prime }(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]\\ \\ (2)⇝& \mathrm{d}[F(x)+C]\\ \\ =& \mathrm{d}F(x)+\mathrm{d}C\\ \\ =& \mathrm{d}F(x)\\ \\ (3)⇝& F^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ \\ (1)⇝& f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

综上可得：

$$\mathbf{d}[\mathbf{\int }\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{d}\mathit{x}]\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{d}\mathit{x}$$

于是可知，B 选 项 正 确。

拓展资料

分析上面的结论可知，如果将积分符号 “$\int$” 看作字母 “$s$”, 则我们可以将上面的运算规律总结为：

$$ds=1$$

从而可以实现微分（$\mathrm{d}$）与积分（$\int$）混合运算的快速求解：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]\\ \\ =& 1\cdot f(x)\mathrm{d}x\\ \\ =& f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

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