高等数学基础归档 - 第15页共54页

齐次微分方程的转化（B028）

问题

若令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则齐次方程 $y^{\prime}$ $=$ $f (\frac{y}{x} )$ 可以转化成什么？

选项

[A]. $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)+u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[B]. $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\int$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[C]. $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[D]. $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

答案

令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则 $y$ $=$ $u x$, $y^{\prime}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为：

$u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $f(u)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ $\Rightarrow$

$\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.

可分离变量的方程（B028）

问题

已知：

$f_{1}(x)$ $g_{1}(y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $f_{2}(x)$ $g_{2}(y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

是一个可分离变量的方程，则以下对该方程的变量分离结果，正确的是哪个？

选项

[A]. $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $1$

[B]. $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[C]. $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

[D]. $\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{1}(y)}{g_{2}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$

答案

两边同除 $g_{1}(y)$ $f_{2}(x)$ $\neq$ $0$, 得：

$\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$.

之后，两边积分即可。

利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sec \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，可以利用奇延拓构造出在 $[-l, l]$ 上为奇函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant l \\ -f(-x), & -l \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{\pi}{n} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\csc \frac{n \pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，其基于偶延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{l \pi}{n} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在 $[-l, l]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant l \\ f(-x), & -l \leqslant x < 0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

利用奇延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $n$ $\sin x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

利用奇延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，可以利用奇延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ -f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos n x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，其基于偶延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{2 \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个奇函数：$f(x)$ $=$ $-f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{\pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{1}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个偶函数：$f(x)$ $=$ $f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{\pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 \pi$ 的奇函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $2 \pi$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$