问题
已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$
则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？
选项
[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$
[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$
[D]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$
$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$