齐次微分方程的转化（B028）

问题

若令

u

=

\frac{y}{x}

, 则齐次方程

y^{'}

=

f (\frac{y}{x})

可以转化成什么？

[A].

\frac{d u}{f (u) - u}

=

\ln | x |

+

C

[B].

\int \frac{d u}{f (u) - u}

=

\ln | x |

+

C

[C].

\int \frac{d u}{f (u) + u}

=

\ln | x |

+

C

[D].

\frac{d u}{f (u) - u}

=

\int

\ln | x |

+

C

令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$ , 则 $y$ $=$ $u x$ , $y^{'}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{d u}{d x}$ , 于是原方程可化为：

$u$ $+$ $x$ $\frac{d u}{d x}$ $=$ $f (u)$ $\Rightarrow$

$\frac{d u}{f (u) - u}$ $=$ $\frac{d x}{x}$ $\Rightarrow$

$\int \frac{d u}{f (u) - u}$ $=$ $\ln | x |$ $+$ $C$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$ , 便得所给齐次方程的通解.