利用奇延拓计算 $[0,l]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$b_n$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0,l]$ 上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_n$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_n$ $=$ $\frac{1}{l}$ ${\int }_0^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

[B].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{l}$ ${\int }_0^l$ $f(x)$ $\cos \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

[C].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{l}$ ${\int }_0^l$ $f(x)$ $\sec \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

[D].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{l}$ ${\int }_0^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$b_n$ $=$ $\frac{2}{l}$ ${\int }_0^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$