利用奇延拓计算 $[0,\pi ]$ 上非周期函数的傅里叶系数：$b_n$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0,\pi ]$ 上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ $\sin nx$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_n$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_n$ $=$ $\frac{1}{\pi }$ ${\int }_0^{\pi }$ $f(x)$ $\sin nx$ $\mathrm{d}x$

[B].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{\pi }$ ${\int }_0^{\pi }$ $f(x)$ $n$ $\sin x$ $\mathrm{d}x$

[C].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{\pi }$ ${\int }_0^{\pi }$ $f(x)$ $\cos nx$ $\mathrm{d}x$

[D].   $b_n$ $=$ $\frac{2}{\pi }$ ${\int }_0^{\pi }$ $f(x)$ $\sin nx$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$b_n$ $=$ $\frac{2}{\pi }$ ${\int }_0^{\pi }$ $f(x)$ $\sin nx$ $\mathrm{d}x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.