二阶常系数线性齐次微分方程的通解：${\lambda }_1$ $=$ ${\lambda }_2$ 时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime }$ $+$ $p$ $y^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 ${\lambda }_1$ $=$ ${\lambda }_2$ 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $x$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$

[C].   $y(x)$ $=$ ${\lambda }_1$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^x$

[D].   $y(x)$ $=$ $C_1$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $($ $C_1$ $+$ $C_2$ $x$ $)$ ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$