二阶常系数线性齐次微分方程的通解：$\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[D].   $y(x)$ $=$ $\lambda_{1}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

   答 案   

$y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$