考研数学公式 – 第 36 页

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积（B007）

问题

如下图所示，如何用定积分表示由函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及直线 $x$ $=$ $a$ 和 $x$ $=$ $b$ 所围成的平面图形的面积 $S$？

利用定积分计算以 $x$ 轴为基准的平面图形面积 | 荒原之梦

选项

[A]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) + g(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) – g(x)]$ $\mathrm{d} x$

[C]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) – g(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D]. $S$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $[f(x) + g(x)]$ $\mathrm{d} x$

答案

$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{Red}{f(x)} – \textcolor{cyan}{g(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

或者写成：
$S$ $=$ $\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}}$ $\textcolor{Yellow}{|} \textcolor{cyan}{g(x)} – \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Yellow}{|}$ $\mathrm{d} x$

无界函数反常积分的条件收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散，但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[D]. $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无界函数反常积分的绝对收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无界函数反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛？

选项

[A]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C]. $\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{b}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

答案

若 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无穷限反常积分的条件收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是条件收敛？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 却发散

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 却收敛

答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 却发散,我们称此收敛为“条件收敛”.

无穷限反常积分的绝对收敛（B007）

问题

以下哪个选项可以说明无穷限反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的收敛是绝对收敛？

选项

[A]. $|$ $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(|x|)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛，$\int_{a}^{+\infty}$ $|f(x)|$ $\mathrm{d} x$ 也收敛

答案

若 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\big|}$ $\mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 也收敛,我们称此收敛为“绝对收敛”.

无界函数反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为其瑕点，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若有 $\lambda$ $=$ $0$ 或 $\lambda$ $<$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[C]. 若有 $\lambda$ $\geqslant$ $0$ 或 $\lambda$ $\neq$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或 $\lambda$ $=$ $+ \infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a) f(x)$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

答案

若有 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 或 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{+ \infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Orange}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 发散

无界函数反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为其瑕点，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 敛散性的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 若有 $0$ $>$ $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\geqslant$ $\lambda$ $>$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $-1$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$1$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x+a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D]. 若有 $0$ $<$ $p$ $<$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $(x-a)^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$（其中，$0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

答案

若有 $\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{p}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{1}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow \textcolor{Yellow}{a^{+}}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{(x-a)^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$（其中，$\textcolor{Yellow}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{<}$ $\textcolor{Yellow}{+\infty}$）成立，则 $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛

无界函数反常积分的比阶审敛法（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow a^{+}}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，完全正确的是哪一项？

在这里，我们令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

选项

[A].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 发散则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散

[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 与 $G$ 的敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 发散

答案

当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{\neq}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 与 $\textcolor{Red}{G}$ 的敛散性相同
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{0}$ 时， $\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
当 $\textcolor{Yellow}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Yellow}{\infty}$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛

无界函数反常积分的比较判敛法（B007）

问题

为方便描述，我们这里令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$.

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $(a, b]$ 上连续，$x$ $=$ $a$ 为瑕点，且 $0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

[B].
若 $F$ 收敛，则 $G$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

[C].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 发散
若 $F$ 发散，则 $G$ 发散

[D].
若 $G$ 收敛，则 $F$ 收敛
若 $F$ 发散，则 $G$ 收敛

答案

若 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛，则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛
若 $\textcolor{Orange}{F}$ 发散，则 $\textcolor{Red}{G}$ 发散

其中：

$0$ $\leqslant$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\leqslant$ $\textcolor{Red}{g(x)}$

$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$

$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

无穷限反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 则以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪一项？

选项

[A]. 若有 $\lambda$ $<$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $+\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[D]. 若有 $\lambda$ $>$ $0$ 或者 $\lambda$ $=$ $-\infty$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\lambda$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $x f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

答案

若有 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{>}$ $\textcolor{Orange}{0}$ 或者 $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Green}{=}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

无穷限反常积分的极限审敛法：$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$（B007）

问题

选项

[A]. 若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

[B]. 若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[C]. 若有 $p$ $>$ $1$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 收敛

[D]. 若有 $p$ $>$ $0$, 使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $x^{p} f(x)$ $=$ $\lambda$, 其中 $0$ $\leqslant$ $\lambda$ $<$ $+\infty$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 发散

答案

若有 $\textcolor{Orange}{p}$ $\textcolor{Orange}{>}$ $\textcolor{Orange}{1}$, 使得 $\lim_{\textcolor{Orange}{x} \textcolor{Green}{\rightarrow} \textcolor{Orange}{+\infty}}$ $\big[$ $\textcolor{Red}{x^{p}} \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{f(x)}$ $\big]$ $=$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$, 其中 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{\lambda}$ $\textcolor{Orange}{<}$ $\textcolor{Orange}{+\infty}$, 则 $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$ 收敛.

无穷限反常积分的比阶审敛法（B007）

问题

为了方便描述和练习，我们在这里令：
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$
$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负，且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[B].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[C].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 收敛则 $G$ 收敛

[D].
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$F$ 发散则 $G$ 发散

答案

（1）当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ 为不等于 $0$ 的常数，则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 在大小上并没有产生不同级别的差距，因此具有相同的敛散性.

（2）当 $\lambda$ $=$ $0$ 时，$\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $0$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远小于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“大收小必收”，于是可知，较大的 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛就意味着较小的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定收敛.

（3）当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $\infty$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远大于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“小发大必发”，于是可知，较小的 $\textcolor{Red}{G}$ 发散就意味着较大的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定发散.

无穷限反常积分的比较审敛法（B007）

问题

已知，在 $x$ $\in$ $[a, +\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 连续，且 $\textcolor{Orange}{0}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$, 则反常积分 $\textcolor{Orange}{A}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的敛散性之间有什么关系？

选项

[A]. $\begin{cases} & B 收敛则 A 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & A 发散则 B 发散 \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 发散 \\ & B 发散则 A 收敛 \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} & A 收敛则 B 收敛 \\ & B 发散则 A 发散 \end{cases}$

答案

$$\begin{cases} & \textcolor{Red}{A} 收敛则 \textcolor{Orange}{B} 收敛 \\ & \textcolor{Orange}{B} 发散则 \textcolor{Red}{A} 发散 \end{cases}$$其中：$\textcolor{Red}{A}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{d} x$, $\textcolor{Orange}{B}$ $=$ $\int_{0}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$.

$\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{Green}{0}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{B}$ $\textcolor{Green}{\leqslant}$ $\textcolor{Red}{A}$

反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{(x – a)^{p}}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ 为任意常数.）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p < 1, \\ & 发散, p \geqslant 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x – a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{(x – a)^{p}}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{<} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\geqslant} 1 \end{cases}$$ 其中，$a$ 为任意常数.

反常积分 $\int_{a}^{b}$ $\frac{1}{(x - a)^{p}}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 荒原之梦 — 图 01. 红色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ 的图像，蓝色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$ 的图像.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性（B007）

问题

以下关于反常积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{+\infty}}$ $\textcolor{Orange}{\frac{1}{x \ln^{p} x}}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$（其中 $a$ $>$ $1$）[敛散性] 的选项中，正确的是哪一个？

选项

[A]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[B]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p > 1, \\ & 发散, p \leqslant 1 \end{cases}$

[C]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \leqslant 1, \\ & 发散, p > 1 \end{cases}$

[D]. $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ $\begin{cases} & 收敛, p \geqslant 1, \\ & 发散, p < 1 \end{cases}$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{+\infty}} \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{x \ln^{p} x}} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\begin{cases} & 收敛, p \textcolor{Red}{>} 1, \\ & 发散, p \textcolor{Red}{\leqslant} 1 \end{cases}$$其中，$a$ $>$ $1$.

反常积分 $\int_{a}^{+\infty}$ $\frac{1}{x \ln^{p} x}$ $\mathrm{d} x$ 的敛散性 | 荒原之梦 — 图 01. 红色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x \ln x}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的图像，蓝色曲线为函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x (\ln x)^{2}}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的图像。