矩阵的秩归档 - 第2页共2页

将矩阵乘以其转置矩阵是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，$\textcolor{cyan}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})}$ 和 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})}$ 之间存在怎样的关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{A^{\top}}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A^{\top}}}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

将矩阵乘以一个常数是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，已知 $\textcolor{cyan}{k}$ 为非零常数，则 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})}$ 之间是什么关系？

选项

[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

答案

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\textcolor{cyan}{k} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$

转置运算是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，对矩阵做转置运算是否会改变矩阵的秩？

选项

[A]. 可能会

[B]. 会

[C]. 不会

答案

不会

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}^{\textcolor{cyan}{\top}}})$

$r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下有关 $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ 的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $0$ $<$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $<$ $\min \{m, n\}$

[B]. $1$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

[C]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\max \{m, n\}$

[D]. $0$ $\leqslant$ $r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)$ $\leqslant$ $\min \{m, n\}$

答案

$\textcolor{cyan}{0}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{r\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{m} \times \mathrm{n}}\right)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{cyan}{\min \{m, n\}}$

初等行变换对矩阵行/列向量组相关性的影响（C012）

问题

对矩阵进行初等行变换，是否会影响矩阵行向量组之间或者列向量组之间的线性相关性？

选项

[A]. 初等行变换会影响行向量组的相关性

[B]. 初等行变换会影响列向量组的相关性

[C]. 初等行变换对行向量组的相关性无影响

[D]. 初等行变换对列向量组的相关性无影响

答案

初等行变换对行或列向量组的线性相关性都无影响

原因：对矩阵做初等行变换时，原本在同一列的元素，在行变换发生之后，仍然会在该列中，只不过在该列中的位置会产生变化。

初等变换对矩阵秩的影响（C012）

问题

对矩阵做初等变换是否会影响该矩阵的行秩或者列秩？

选项

[A]. 不影响

[B]. 初等列变换会影响行秩

[C]. 初等行变换会影响行秩

[D]. 会影响

答案

无论是初等行变换还是初等列变换，都不会影响矩阵的秩。

而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换不会影响矩阵的行秩或列秩。

矩阵的行秩和列秩（C012）

问题

矩阵的秩分为行秩和列秩两种，那么，行秩和列秩之间有什么关系？

选项

[A]. 行秩 $<$ 列秩

[B]. 行秩 $>$ 列秩

[C]. 行秩 $=$ 列秩

[D]. 行秩 $\neq$ 列秩

答案

行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩

矩阵的行秩和列秩是相等的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是唯一的。

矩阵秩的定义（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则，关于矩阵秩的定义，以下说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ 阶子式都不为零

[B]. 存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式为零

[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为零

[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式都不为零

答案

存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式不为零，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式全为零

零矩阵的秩是多少？（C012）

问题

已知有零矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}}$, 则该矩阵的秩是多少？

选项

[A]. $3$

[B]. $2$

[C]. $1$

[D]. $0$

[E]. $4$

答案

$0$

矩阵秩的最大可能取值（C012）

问题

已知，有 $m$ $\times$ $n$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$, 且 $m$ $>$ $n$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 的最大可能取值是多少？

选项

[A]. $m+n$

[B]. $m$

[C]. $n$

[D]. $\frac{1}{2}$ $(m + n)$

答案

$n$

构成矩阵子式的元素是否必须相邻？（C012）

问题

根据矩阵子式的定义，构成一个矩阵子式的元素是否必须是相邻的？

选项

[A]. 必须不相邻

[B]. 必须相邻

[C]. 不必须相邻

答案

构成矩阵子式的元素可以不相邻，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均是其子式。

矩阵的子式一定行列相等吗？（C012）

问题

根据矩阵子式的定义，一个矩阵的 $k$ 阶子式，一定是一个行数与列数相等的行列式吗？

选项

[A]. 一定是

[B]. 一定不是

[C]. 不一定是

答案

矩阵的子式一定是一个行数与列数相等的行列式

矩阵的子式（C012）

问题

根据矩阵子式的定义, 以下选项中，哪一个是矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 的子式？

选项

[A]. $\begin{vmatrix} 3\\ 6 \end{vmatrix}$

[B]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \end{vmatrix}$

[C]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

[D]. $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$