矩阵等价的充要条件(C012)

问题

已知,矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 互为 矩阵,则以下关于这两个矩阵等价的 中,正确的是哪个?

选项

[A].   秩相等

[B].   同型

[C].   同型且秩相等

[D].   可以不同型,但需要秩相等


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矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 互为 矩阵 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ 矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$

等价矩阵的传递性(C012)

问题

已知,$\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{C}}$.
则,根据矩阵 ,矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{C}}$ 具有怎样的关系?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C^{-1}}$

[B].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C^{\top}}$

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\ncong$ $\boldsymbol{C}$

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{C}$


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若 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{C}}$, 则:
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{red}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{C}}$

等价矩阵的对称性(C012)

问题

已知, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$, 则,根据矩阵 ,以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{B}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$

[B].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{A^{-1}}$ $\cong$ $\boldsymbol{B^{-1}}$

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{A^{\top}}$ $\cong$ $\boldsymbol{B^{\top}}$

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$ $\nLeftrightarrow$ $\boldsymbol{B}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$


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矩阵
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{green}{\cong}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{green}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$

等价矩阵的反身性(C012)

问题

已知,有矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$, 则,根据矩阵 ,以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A}$

[B].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $-$ $\boldsymbol{A}$

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A^{-1}}$

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{A^{\top}}$


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等价矩阵的 指的是,一个矩阵和 一定
$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$

等价矩阵的定义(C012)

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过 ( ) 次初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$

选项

[A].   无数次

[B].   至多 2 两次

[C].   1 次

[D].   有限次


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矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过 初等变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$

矩阵等价的符号表示(C012)

问题

已知,矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 是等价矩阵,则以下对这种 关系的 表示,正确的是哪个?

选项

[A].   $\boldsymbol{A}$ $\sim$ $\boldsymbol{B}$

[B].   $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{B}$

[C].   $\boldsymbol{A}$ $\cong$ $\boldsymbol{B}$

[D].   $\boldsymbol{A}$ $\otimes$ $\boldsymbol{B}$


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$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{cyan}{\cong}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$

$r(\boldsymbol{A})$ $<$ $n$ $-$ $1$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少?(C012)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵,且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ 时,$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[B].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$

[C].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[D].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$


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$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n$ $-$ $1$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少?(C012)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵,且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ 时,$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[B].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[C].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

[D].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$


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$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{1}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n$ 时 $r(\boldsymbol{A^{*}})$ 的值是多少?(C012)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵,且 $n$ $\geqslant$ $2$.
则当 $\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ 时,$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$

[B].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $0$

[C].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $1$

[D].   $r(\boldsymbol{A^{*}})$ $=$ $n$ $-$ $1$


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$\textcolor{cyan}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{n}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A^{*}})}$ $=$ $\textcolor{red}{n}$

指定条件下 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的取值范围(C012)

问题

已知,有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $n$ 行 $s$ 列的矩阵 $\boldsymbol{B}$, 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}_{n \times s}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{O}}$, 则 以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 的 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $<$ $n$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $m$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $n$


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$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{n}$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系(C012)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵,则,根据矩阵秩的性质,以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$


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乘以一个 相当于做了 ,而初等变换 矩阵的 ,因此,一定有:

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{BA}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系(C012)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵,则,根据矩阵秩的性质,以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$


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乘以一个 相当于做了 ,而初等变换 矩阵的 ,因此,一定有:

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{AB}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ 和 $\min \{ \mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \}$ 的关系(C012)

问题

根据矩阵秩的性质,以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{orange}{\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}}$ 的 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $<$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $>$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$


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$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{\min} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ 的取值范围(C012)

问题

根据矩阵秩的性质,以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ 的 的选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B].   $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C].   $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D].   $\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$


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$\textcolor{cyan}{\max} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

$\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的关系(C012)

问题

根据矩阵秩的性质,$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 之间存在

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $<$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$


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$\mathrm{r} \textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}+\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}\textcolor{yellow}{)}$ $+$ $\mathrm{r}\textcolor{yellow}{(}\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}\textcolor{yellow}{)}$


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