问题
根据矩阵秩的性质，$\textcolor{cyan}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})}$ 和 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})}$ 之间存在 怎 样 的 关 系 ？选项
[A]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$[B]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$
[C]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$
[D]. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A^{\top}})$ $=$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{A^{\top}}\boldsymbol{A})$
$\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \boldsymbol{\textcolor{yellow}{A^{\top}}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r} (\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A^{\top}}}\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$