将矩阵乘以一个常数是否会改变原矩阵的秩？（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，已知 $\textcolor{cyan}{k}$ 为非零常数，则 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})}$ 之间是 什 么 关 系 ？

选项

[A].   $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[B].   $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\neq$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[C].   $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

[D].   $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $\leqslant$ $\mathrm{r} (k \boldsymbol{A})$

   答 案   

$\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$ $=$ $\mathrm{\textcolor{yellow}{r}} (\textcolor{cyan}{k} \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}})$