矩阵的秩归档 - 荒原之梦

矩阵等价的充要条件（C012）

问题

已知，矩阵

A

与

B

互为等价矩阵，则以下关于这两个矩阵等价的充要条件中，正确的是哪个？

选项

[A]. 同型且秩相等

[B]. 可以不同型，但需要秩相等

[C]. 秩相等

[D]. 同型

答案

矩阵 $A$ 与 $B$ 互为等价矩阵 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 与 $B$ 同型且秩相等

等价矩阵的传递性（C012）

问题

已知，

A

≅

B

且

B

≅

C

.
则，根据矩阵等价的传递性，矩阵

A

与

C

具有怎样的关系？

选项

[A].

A

≅

C^{⊤}

[B].

A

≇

C

[C].

A

≅

C

[D].

A

≅

C^{- 1}

答案

若 $A$ $≅$ $B$ 且 $B$ $≅$ $C$ , 则：
$A$ $≅$ $C$

等价矩阵的对称性（C012）

问题

已知，

A

≅

B

, 则，根据矩阵等价的对称性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

A

≅

B

⇎

B

≅

A

[B].

A

≅

B

\Leftrightarrow

B

≅

A

[C].

A

≅

B

\Leftrightarrow

A^{- 1}

≅

B^{- 1}

[D].

A

≅

B

\Leftrightarrow

A^{⊤}

≅

B^{⊤}

答案

矩阵等价的对称性：
$A$ $≅$ $B$ $\Leftrightarrow$ $B$ $≅$ $A$

等价矩阵的反身性（C012）

问题

已知，有矩阵

A

, 则，根据矩阵等价的反身性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

A

≅

A^{- 1}

[B].

A

≅

A^{⊤}

[C].

A

≅

A

[D].

A

≅

-

A

答案

等价矩阵的反身性指的是，一个矩阵和其自己一定等价：
$A$ $≅$ $A$

等价矩阵的定义（C012）

问题

矩阵

A

经过（）次初等变换化为矩阵

B

, 则称矩阵

A

与矩阵

B

等价？

选项

[A]. 有限次

[B]. 无数次

[C]. 至多 2 两次

[D]. 1 次

答案

矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $B$ , 则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价

矩阵等价的符号表示（C012）

问题

已知，矩阵

A

与

B

是等价矩阵，则以下对这种等价关系的符号表示，正确的是哪个？

选项

[A].

A

\sim

B

[B].

A

=

B

[C].

A

≅

B

[D].

A

\otimes

B

答案

$A$ $≅$ $B$

$r (A)$ $<$ $n$ $-$ $1$ 时 $r (A^{*})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵

A

是一个

n

阶方阵，且

n

⩾

2

.
则当

r (A)

=

n

-

1

时，

r (A^{*})

=

?

选项

[A].

r (A^{*})

=

n

[B].

r (A^{*})

=

1

[C].

r (A^{*})

=

n

-

1

[D].

r (A^{*})

=

0

答案

$r (A)$ $=$ $n$ $-$ $1$ $\Rightarrow$ $r (A^{*})$ $=$ $0$

$r (A)$ $=$ $n$ $-$ $1$ 时 $r (A^{*})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵

A

是一个

n

阶方阵，且

n

⩾

2

.
则当

r (A)

=

n

-

1

时，

r (A^{*})

=

?

选项

[A].

r (A^{*})

=

1

[B].

r (A^{*})

=

0

[C].

r (A^{*})

=

n

[D].

r (A^{*})

=

n

-

1

答案

$r (A)$ $=$ $n$ $-$ $1$ $\Rightarrow$ $r (A^{*})$ $=$ $1$

$r (A)$ $=$ $n$ 时 $r (A^{*})$ 的值是多少？（C012）

问题

已知，矩阵

A

是一个

n

阶方阵，且

n

⩾

2

.
则当

r (A)

=

n

时，

r (A^{*})

=

?

选项

[A].

r (A^{*})

=

1

[B].

r (A^{*})

=

n

-

1

[C].

r (A^{*})

=

n

[D].

r (A^{*})

=

0

答案

$r (A)$ $=$ $n$ $\Rightarrow$ $r (A^{*})$ $=$ $n$

指定条件下 $r (A)$ $+$ $r (B)$ 的取值范围（C012）

问题

已知，有

m

行

n

列的矩阵

A

和

n

行

s

列的矩阵

B

, 且

A_{m \times n}

B_{n \times s}

=

O

, 则以下关于

r (A)

+

r (B)

的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (A)

+

r (B)

⩾

n

[B].

r (A)

+

r (B)

<

n

[C].

r (A)

+

r (B)

⩽

m

[D].

r (A)

+

r (B)

⩽

n

答案

$r (A)$ $+$ $r (B)$ $⩽$ $n$

$r (B A)$ 与 $r (B)$ 和 $r (A)$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵

A

为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于

r (B A)

与

r (B)

和

r (A)

关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (B A)

=

r (A)

[B].

r (B A)

\neq

r (B)

[C].

r (B A)

=

r (B)

[D].

r (B A)

=

| A |

\cdot

r (B)

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$r (B A)$ $=$ $r (B)$

$r (A B)$ 与 $r (B)$ 和 $r (A)$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵

A

为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于

r (A B)

与

r (B)

和

r (A)

关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (A B)

=

r (A)

[B].

r (A B)

\neq

r (B)

[C].

r (A B)

=

r (B)

[D].

r (A B)

=

| A |

\cdot

r (B)

答案

乘以一个初等矩阵相当于做了初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩，因此，一定有：

$r (A B)$ $=$ $r (B)$

$r (A B)$ 和 $min {r (A), r (B)}$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于

r (A B)

和

min {r (A), r (B)}

的大小关系的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (A B)

>

min {r (A), r (B)}

[B].

r (A B)

<

min {r (A), r (B)}

[C].

r (A B)

⩾

min {r (A), r (B)}

[D].

r (A B)

⩽

min {r (A), r (B)}

答案

$r (A B)$ $⩽$ $min {r (A), r (B)}$

$r (A, B)$ 的取值范围（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于

r (A, B)

的取值范围的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

max {r (A), r (B)}

⩾

r (A, B)

⩾

r (A)

+

r (B)

[B].

min {r (A), r (B)}

⩽

r (A, B)

⩽

r (A)

+

r (B)

[C].

max {r (A), r (B)}

⩽

r (A, B)

⩽

r (A)

+

r (B)

[D].

max {r (A), r (B)}

<

r (A, B)

<

r (A)

+

r (B)

答案

$max {r (A), r (B)}$ $⩽$ $r (A, B)$ $⩽$ $r (A)$ $+$ $r (B)$

$r (A + B)$ 和 $r (A)$ $+$ $r (B)$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，

r (A + B)

与

r (A)

+

r (B)

之间存在怎样的关系？

选项

[A].

r (A + B)

<

r (A)

+

r (B)

[B].

r (A + B)

=

r (A)

+

r (B)

[C].

r (A + B)

⩾

r (A)

+

r (B)

[D].

r (A + B)

⩽

r (A)

+

r (B)

答案

$r (A + B)$ $⩽$ $r (A)$ $+$ $r (B)$