指定条件下 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 的取值范围（C012）

问题

已知，有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $n$ 行 $s$ 列的矩阵 $\boldsymbol{B}$, 且 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}_{n \times s}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{O}}$, 则 以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 的 取 值 范 围 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $<$ $n$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $m$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $n$

   答 案   

$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{n}$