$\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ 与 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ 和 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ 的关系（C012）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，则，根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})}$ 与 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{cyan}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A})}$ 关 系 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $\neq$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{BA})$ $=$ $|A|$ $\cdot$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

   答 案   

乘以一个 初 等 矩 阵 相当于做了 初 等 变 换 ，而初等变换 不 改 变 矩阵的 秩 ，因此，一定有：

$\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{BA}})$ $\textcolor{red}{=}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}})$