$\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ 和 $\min \{ \mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B}) \}$ 的关系（C012）

问题

根据矩阵秩的性质，以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ 和 $\textcolor{orange}{\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}}$ 的 大 小 关 系 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $>$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[B].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $<$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[C].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\geqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

[D].   $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $\min \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$

   答 案   

$\textcolor{orange}{\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})}$ $\textcolor{red}{\leqslant}$ $\textcolor{yellow}{\min} \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$