标签： 高等数学基础

函数可导与连续之间的关系如下：
1. 可导必连续;
2. 不连续一定不可导
3. 连续不一定可导.

$f(x)$ $-$ $f(x_0)$ $=$ $\frac{-1}{f^{\prime }(x_0)}$ $\cdot$ $(x–x_0)$

$f(x)$ $-$ $f(x_0)$ $=$ $f^{\prime }(x_0)$ $\cdot$ $(x–x_0)$

$f^{\prime }(x_0)$ $=$ $A$ $\iff$ $f_{+}^{\prime }(x_0)$ $=$ $f_{-}^{\prime }(x_0)$ $=$ $A$
Tips: 左导 $=$ 右导，则可导.

$f_{-}^{\prime }(x_0)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}$

$f_{+}^{\prime }(x_0)$ $=$ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}$ $\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

$f_{-}^{‘}(x_0)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}$ $\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}$

$f_{-}^{‘}(x_0)$ $=$ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}$ $\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

$f^{\prime }(x_0)$ $=$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}$

$f^{‘}(x_0)$ $=$ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}$ $\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)–f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$m$ 和 $M$ 分别是该函数在区间 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，$m$ $⩽$ $c$ $⩽$ $M$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使 $f(\xi )$ $=$ $c$

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)$ $\ne$ $f(b)$, $c$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的一个常数，则必存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f(\xi )$ $=$ $c$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)$ $\times$ $f(b)$ $<$ $0$, 则必存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f(\xi )$ $=$ $0$.
此外，如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上为单调函数，则必存在且唯一存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f(\xi )$ $=$ $0$.

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上必有界

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值和最小值