如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, 或者，虽然 $f”(x_{0})$ 不存在，但函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，那么，如果再可知，$f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号，则可以判断，坐标点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.
如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变，则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.
关于什么是拐点，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是驻点和拐点？》
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.
若当 $x$ $\in$ $\mathring{U(x_{0})}$ 时，$f'(x)$ 不变号，则表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处一定不取得极值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值.
注意：若 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$, 则极值不存在，因此，只有当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$, 极值才【有可能】存在.
简明版：
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候，就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.
标准版：
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时，$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时，$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大（小）值. 其中，$\sigma$ $>$ $0$.
$f'(x_{0})$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极值.
$f(x_{0})$ 是一个极值 $\color{Green}{\nRightarrow}$ $f'(x_{0})$ $=$ $0$.
说明：由必要条件可以推出结论，但由结论不一定能推出必要条件.
于是可知，$f'(x_{0})$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值的一个必要条件.
关于必要条件，可以查看荒原之梦网的这篇文章：《什么是必要条件？》
$f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.
$f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值.
函数的极值包括“极大值”和“极小值”.
关于函数极值的更多内容，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是极值点和最值点？》
完整版：
$\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
求和版：
$\cot x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
简略版：
$\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版：
$\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
求和版：
$\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$
简略版：
$\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版：
$\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$
求和版：
$\sec x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$
简略版：
$\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $.$
完整版：
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
求和版：
$\arcsin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $.$
简略版：
$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $.$
$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\arcsin x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
完整版：
$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
求和版：
$\arctan x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$
简略版：
$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$
与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\arctan x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$
