高等数学基础归档 - 第45页共54页

什么是跳跃间断点？（B002）

问题

下面关于【什么是跳跃间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$ $<$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$

[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$ $\neq$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$

答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $=$ $B$, 其中，$A$ 和 $B$ 都是常数，且 $A$ $\neq$ $B$
Tips: 跳跃间断点属于第一类间断点.

什么是可去间断点？（B002）

问题

下面关于【什么是可去间断点】的表述中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $0$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $0$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$

[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $\neq$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$

答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$
Tips: 可去间断点属于第一类间断点.

什么是函数的第二类间断点？（B002）

问题

下面关于【函数第二类间断点】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【存在】

[B]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】

[C]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【不存在】

[D]. 第二类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】且【相等】

答案

$\color{Red}{>>}$ 间断点左右两侧的极限值至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 即极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ 至少有一个不存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 第二类间断点包含【无穷间断点】和【震荡间断点】两种.

什么是函数的第一类间断点？（B002）

问题

下面关于【函数第一类间断点】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【不存在】

[B]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】

[C]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值都【存在】但【不相等】

[D]. 第一类间断点的间断点左右两侧极限值至少有一个【存在】

答案

$\color{Red}{>>}$ 间断点左右两侧的极限值都存在的间断点为第一类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 即极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ 都存在，则 $x$ $=$ $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\color{Red}{>>}$ 第一类间断点包含【可去间断点】和【跳跃间断点】两种.

函数在一点处连续的定义（B002）

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，则以下哪个选项可以说明【函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续】？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $f(x_{0})$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$

[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $f(x)$

答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $f(x_{0})$
Tips: 若函数在一点处的极限值等于该函数在该点处的函数值，则表明该函数在此点处连续.

洛必达法则的结论（B001）

问题

根据应用洛必达法则的前提条件，在使用洛必达法则的时候，要遵循的【结论】是什么？

选项

[A]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

[C]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $- \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$
Tips: 对于可以应用洛必达法则的式子，应用洛必达法则（即对原式的分子和分母同时求导）之后并不会改变原式的极限值，因此，可以借助洛必达法则，简化对原式极限值的计算.

应用洛必达法则的三个前提条件（B001）

问题

对于式子 $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ 而言，下列选项中，哪些符合对该式【应用洛必达法则的前提条件】？

选项

[A]. $g^{‘}(x)$ $=$ $0$

[B]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f^{‘}(x)}{g^{‘}(x)}$ 不存在

[C]. $g^{‘}(x)$ $=$ $1$

[D]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $g(x)$ $=$ $\infty$ 且 $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $f(x)$ $=$ $\infty$

[E]. $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $f(x)$ $=$ $0$ 且 $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $g(x)$ $=$ $\infty$

答案

1. 当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 或 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 【都趋于零】或者【都趋于无穷大】;
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x$ $\rightarrow$ $0$ 或 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时【可导】，且【$g^{‘}(x)$ $\neq$ $0$】;
3. 极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)}$ $\frac{f^{‘}(x)}{g^{‘}(x)}$ 【存在】或者为【无穷大】.

$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $\frac{1}{3}x$

[B]. $\frac{1}{3}x^{3}$

[C]. $\frac{1}{2}x^{3}$

[D]. $\frac{1}{2}x^{2}$

答案

$\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\frac{1}{2}x^{3}$

高等数学中常用的等价无穷小：

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$x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $\arcsin x$

[B]. $\sin x$

[C]. $\tan x$

[D]. $e^{x}$ $-$ $1$

[E]. $\sqrt{x}$

[F]. $\ln(1+x)$

[G]. $x^{2}$

答案

$x$ $\color{Red}{\sim}$ $\ln(1+x)$
$x$ $\color{Red}{\sim}$ $\tan x$
$x$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$
$x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arctan$
$x$ $\color{Red}{\sim}$ $e^{x}$ $-$ $1$

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$\ln(1+x)$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$\ln(1+x)$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $x^{2}$

[B]. $\arccos x$

[C]. $\sin x$

[D]. $\tan x$

[E]. $e^{x}$ $-$ $e$

[F]. $\sqrt{x}$

答案

$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $x$
$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $\tan x$
$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$
$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $\arctan$
$\ln(1+x)$ $\color{Red}{\sim}$ $e^{x}$ $-$ $1$

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$e^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$e^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $\ln(1+x)$

[B]. $x^{2}$

[C]. $\arccos x$

[D]. $\sin x$

[E]. $\tan x$

[F]. $\sqrt{x}$

答案

$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $x$
$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $\tan x$
$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$
$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $\arctan$
$e^{x}$ $-$ $1$ $\color{Red}{\sim}$ $\ln(1+x)$

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$\arctan x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$\arctan x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $\ln(1+x)$

[B]. $x^{2}$

[C]. $\arccos x$

[D]. $\sin x$

[E]. $\tan x$

[F]. $e^{x}$ $+$ $1$

答案

$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $x$
$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\tan x$
$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$
$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $e^{x}$ $-$ $1$
$\arctan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\ln(1+x)$

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$\arcsin x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$\arcsin x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $x^{2}$

[B]. $\ln(1+x)$

[C]. $x$

[D]. $e^{x}$ $+$ $1$

[E]. $\tan x$

[F]. $\arctan x$

[G]. $\arccos x$

[H]. $\sin x$

[I]. $\arctan x$

答案

$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $x$
$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\tan x$
$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arctan x$
$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $e^{x}$ $-$ $1$
$\arcsin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\ln(1+x)$

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$\tan x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪些选项是【$\tan x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $\ln(1+x)$

[B]. $e^{x}$ $-$ $1$

[C]. $\arcsin x$

[D]. $\cot x$

[E]. $\arctan x$

[F]. $\cos x$

[G]. $x$

答案

$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $x$
$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arctan x$
$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\sin x$
$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$
$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $e^{x}$ $-$ $1$
$\tan x$ $\color{Red}{\sim}$ $\ln(1+x)$

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$\sin x$ $-$ $x$ 的等价无穷小（B001）

问题

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，以下哪个选项是【$\sin x$ $-$ $x$ 的等价无穷小】？

选项

[A]. $- \frac{1}{6} x^{2}$

[B]. $\frac{1}{6} x^{2}$

[C]. $\frac{1}{6} x^{3}$

[D]. $- \frac{1}{6} x^{3}$

答案

$\sin x$ $-$ $x$ $\color{Red}{\sim}$ $- \frac{1}{6} x^{3}$ $\color{Red}{\sim}$ $x$ $-$ $\arcsin x$

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