高等数学基础归档 - 第16页共54页

利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{2 \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$.

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个奇函数：$f(x)$ $=$ $-f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{\pi}{l} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{1}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个偶函数：$f(x)$ $=$ $f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{\pi}{l} x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n \pi}{l} x$

周期为 $2 \pi$ 的奇函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $2 \pi$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 \pi$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个奇函数：$f(x)$ $=$ $-f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{b_{n}}$ $\sin n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

周期为 $2 \pi$ 的偶函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$.

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{2 \pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 \pi$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，并且 $f(x)$ 还是一个偶函数：$f(x)$ $=$ $f(-x)$.

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{2}{a_{0}}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin n x$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

狄利克雷收敛定理：在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 并且，函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f(x)$ 在间断点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A]. $\frac{1}{3}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

[B]. $\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

[C]. $\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $-$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

[D]. $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$

答案

$\frac{1}{2}$ $\big[$ $f(x_{0}-0)$ $+$ $f(x_{0}+0)$ $\big]$

狄利克雷收敛定理：在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 并且，函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛。

那么，根据迪利克雷收敛定理，函数 $f(x)$ 在连续点 $x_{0}$ 处的收敛函数是什么？

选项

[A]. $\frac{f(x)}{2}$

[B]. $f(x)$

[C]. $-f(x)$

[D]. $\frac{1}{f(x)}$

答案

$f(x)$

狄利克雷收敛定理：收敛的条件二（B027）

问题

已知，函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数, 若要使函数 $f(x)$ 的傅里叶级数在区间 $[-l, l]$ 上收敛，需要同时满足两个条件，下列哪个选项是要满足的其中一个条件？

选项

[A]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个极值点

[B]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个拐点

[C]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上有无限个极值点

[D]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个最值点

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上只有有限个极值点

狄利克雷收敛定理：收敛的条件一（B027）

问题

选项

[A]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除无限个第一类间断点外都连续

[B]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第二类间断点外都连续

[C]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个间断点外都连续

[D]. 函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第一类间断点外都连续

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[-l, l]$ 上除有限个第一类间断点外都连续

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{\pi}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{\pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{\pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{\frac{-l}{2}}^{\frac{l}{2}}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos n \pi l x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$.