一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1 + x^{2}}$ $)^{\frac{1}{x}}$”标签： 高等数学基础
将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆
一、前言 
在高等数学中，有些公式在本质上是有联系的，如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式，就能记忆得更加牢固。
在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。
继续阅读“将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆”计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3}$ $\big)^{n}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$
其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3}$ $\big)^{n}$”计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}}$ $\cdot$ $\sin \frac{1}{n}$
一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}}$ $\cdot$ $\sin \frac{1}{n}$”计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big[$ $\frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)}$ $\big] ^{x}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)} \Big]^{x} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big[$ $\frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)}$ $\big] ^{x}$”数列极限的定义中的“潜规则”
如何证明 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}$ 是奇函数？
一、题目
证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}
$$
难度评级：
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}$ 是奇函数？”如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $)$ 是奇函数？
一、题目
证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} )
$$
难度评级：
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $)$ 是奇函数？”如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $\frac{1-x}{1+x}$ 是奇函数？
一、题目
证明下面的函数是奇函数：
$$
y = \ln \frac{1-x}{1+x}
$$
难度评级：
继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $\frac{1-x}{1+x}$ 是奇函数？”什么是有理数？什么是无理数？
一、前言
简单地说，有理数就是可以写成两个整数比值形式的数，而无理数就是不能写成两个整数比值形式的数。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过简单的定理描述和示例，让同学们迅速理解这两个概念。
继续阅读“什么是有理数？什么是无理数？”计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数
一、题目
$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？
难度评级：
继续阅读“计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数”零向量的写法（C013）
问题
$n$ 维零向量可以记为 （） ？选项
[A]. $o$[B]. $\Omega$
[C]. $O$
[D]. $0$
零向量可以用数字 $\textcolor{orange}{0}$ 表示为：
$\textcolor{orange}{0}_{\textcolor{cyan}{n}}$ 或 $\textcolor{orange}{0}$
$F(x)$ $=$ $\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 是奇函数还是偶函数？
一、前言
在本文中，荒原之梦网将使用奇函数的定义完成对 $\textcolor{orange}{F(x)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})}$ 是奇函数还是偶函数的判断。
继续阅读“$F(x)$ $=$ $\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 是奇函数还是偶函数？”高数极限小技巧：$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$
一、问题描述 
在做有些涉及极限的题目时，我们常常会遇到下面这样的表述：
$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}
$$
但是，我们可能会产生这样的疑问：
$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 既不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$, 也不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}}$, 那么，在计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子时该怎么计算，需要 分 类 讨 论 嘛？
继续阅读“高数极限小技巧：$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$”计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 m y^{\prime}$ $+$ $n^{2} y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分
一、题目
设 $y$ $=$ $y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $\textcolor{orange}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{2 m y^{\prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{n^{2} y}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{0}$ 满足 $\textcolor{orange}{y(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{a}$ 与 $\textcolor{orange}{y^{\prime}(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{b}$ 的特解，其中 $m$ 和 $n$ 为常数，且 $\textcolor{orange}{m}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{n}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{0}$, 则 $\textcolor{orange}{\int_{0}^{+ \infty}}$ $\textcolor{orange}{y(x)}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$
继续阅读“计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 m y^{\prime}$ $+$ $n^{2} y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分”