标签： 高等数学基础

一、前言

齐次线性微分方程有特解吗？

非线性微分方程有特解和通解吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下微分方程的通解和特解.

继续阅读“微分方程的通解和特解”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

微分方程所谓的“叠加原理”指的就是，如果 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是某个齐次线性微分方程的解，那么 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$, 或者差 $k_{1} y_{1}(x) – k_{2} y_{2}(x)$ 也是该齐次线性微分方程的解，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数——

简单来说，狭义的“叠加原理”指的就是，齐次线性微分方程解的叠加仍然是其解.

当然，严格地说，对于两个解的差而言，符合的应该是“叠减原理”，而不是“叠加原理”，但在本文中，我们都将其称之为“叠加原理”.

此外，对于非齐次的线性微分方程，（广义的）叠加原理仍然有效，即：

1. 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=C$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2C$ 的解；
2. 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=g(x)$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2g(x)$ 的解.

继续阅读“峰图 | 如何理解线性微分方程的“叠加原理”？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过定义和举例等方式，为同学们讲解明白线性微分方程与非线性微分方程之间的异同点，以及各自的特点.

继续阅读“如何理解微分方程的线性和非线性概念？”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在二元函数一点处极限的定义中，无论去心邻域的形状是圆形，还是正方形，对应的定义都是等价的，并且通过极限的思想证明了为什么圆形和正方形的形状不同，但是却等价.

接着，在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？》这篇文章中，我们基于《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中的结论，得出了所有能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这个更进一步的结论.

在这篇文章中，「荒原之梦考研数学」将通过对图形动态等价原理的阐释，给出有关不同形状的能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面，但在本文中仅基于二维有界平面做论述）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这一结论的另一视角的证明.

继续阅读“峰图 | 关于图形动态等价原理的解释”

一、前言

对于可分离变量的微分方程，我们如下这种导数形式的表达式：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x)g(y)
$$

以及下面这种微分形式的表达式：

$$
f_{1}(x) g_{1}(y) \mathrm{~d} x + f_{2}(x) g_{2}(y) \mathrm{~d} y = 0
$$

事实上，上面这两种表达形式是完全等价的.

接下来，荒原之梦考研数学就通过代数运算，证明这二者的等价关系.

继续阅读“可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式”

一、前言

微分方程（Differential Equation, DEQ）分为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）.

$$
\mathrm{ DEQ } \begin{cases}
\mathrm{ ODE } \\
\mathrm{ PDE }
\end{cases}
$$

如图 01 所示，如果对常微分方程和偏微分方程做进一步的细分，就可以发现，无论常微分方程还是偏微分方程，都有一阶、二阶、三阶……，以及线性和非线性之分，但是，只有线性的常微分方程和线性的偏微分方程才有齐次和非齐次之分，非线性的微分方程是没有齐次和非齐次之分的：

从形式上来看，ODE 和 PDE 的主要区别就是自变量的个数不同：ODE 只有一个自变量，PDE 则包含多个自变量.

由于对单变量函数的求导所得的导函数也被称为“常导数”，所以，只有一个自变量的微分方程就被称为常微分方程；类似地，由于对含有多个自变量的函数只能求偏导数，所以，含有多个自变量的微分方程就被称为偏微分方程.

在考研数学中，只考察仅包含一个自变量的常微分方程.

继续阅读“微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在计算二元函数一点处的极限时，二元函数中不同形状的去心邻域如果能够相互“包裹”，就是等价的，或者说“等效”的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，给同学讲清楚，在二元函数中，哪些形状的去心邻域可用于定义或者求解一点处的极限，哪些形状的定义域不能用于定义或者求解一点处的极限.

继续阅读“峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过与一元函数极限的类比，以及对二元函数（全面）极限的定义的分析，为同学们讲清楚二元函数的（全面）极限.

如无特殊说明，本文接下来所提到的“二元函数的极限”指的都是“二元函数的全面极限”.

继续阅读“峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限”

平方差公式

已知，平方差公式为：

$$
\left( a+b \right) \times \left( a-b \right) = a^{2} – b^{2}
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt{x} \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right) = 1-x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{2 \left( 1 – \sqrt{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right)}{2 \left( 1 – x \right)} = 1
$$

难度评级：

立方差公式

已知，立方差公式为：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a-b \right) \times \left( a^{2} + b^{2} +ab \right)
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt[3]{x} \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right) = 1 – x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{1 – \sqrt[3]{x}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right)}{1 – x} = 3
$$

难度评级：

$n$ 方差（$n$ 次幂差）公式

事实上，当 $n$ 为正整数的时候，对于式子 $a^{n} – b^{n}$, 我们有下面的通用计算公式：

$$
\begin{aligned}
a^{n} – b^{n} & = \left( a – b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k} \\ \\
& = \left( a – b \right) \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)
\end{aligned}
$$

于是——

1. 当 $n=2$ 时，有：

$$
a^{2} – b^{2} = \left( a – b \right) \left( a + b \right)
$$

2. 当 $n=3$ 时，有：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)
$$

3. 当 $n=4$ 时，有：

$$
a^{4} – b^{4} = \left( a – b \right) \left( a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3} \right)
$$

需要注意的是，由于：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a^{2} + 2ab + b^{2} \right) }
$$

即：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a+b \right)^{3-1} }
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
a^{n} – b^{n} \neq \left( a-b \right) \left( a+b \right)^{n-1}
}
$$

---

一、前言

在计算多项和的乘积的时候（也就是下面这样的式子），很容易出现计算失误：

$$
\left( a+b \right) \times \left( c+d \right) \times \left( e+f+g \right)
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」设计了一种基于表格的多项和的乘积的计算方式，帮助同学们在计算这类式子的时候降低错误率.

继续阅读“峰图 | 用表格的形式辅助计算多项和的乘积”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过公式的推导，帮助同学们在遇到下面这样的式子时可以从中快速拆分出常数，从而方便进行积分、求导等运算：

$$
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}}
$$

我们的目标是，对上面的式子，建立下面的等式：

$$
\begin{align}
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} & = A – \frac{B}{1 + x^{2}} \tag{1} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} & = A – \frac{B}{1 + c x^{2}} \tag{2} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} & = A – \frac{B}{d + c x^{2}} \tag{3}
\end{align}
$$

其中，$a$, $b$, $c$ 和 $d$ 是已知的常数，$A$ 和 $B$ 是未知常数.

继续阅读“从分式中拆分出常数的三个快速公式”

一、前言

导数是对一元函数而言的，偏导数（偏导数有时也称为“偏微商”）是对多元函数而言的. 在本文中，我们就基于二元函数 $z = f(x, y)$ 来理解其一阶偏导数的定义.

继续阅读“一阶偏导数定义的理解”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》和《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这两篇文章中原创的新视角和思路，进一步做方法上的完善，通过对函数微观结构的创造性定义，在微观视角上实现对函数光滑属性的描述和解释. 由于对函数光滑属性的研究，实际上就是对函数的导函数进行研究，所以，本文所提供的方法可用于以更加直观的方式解释函数的可导性，以及对导函数性质的描述.

继续阅读“峰图 | 基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性”

一、前言

函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——

我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.

那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？

继续阅读“函数表达式就是函数本身吗？”