标签： 高等数学基础

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

继续阅读“分块矩阵的秩相关公式及实战化解释”

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

继续阅读“平均值不等式的详细证明过程”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

继续阅读“证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

继续阅读“幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？”

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

继续阅读“对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则””

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

继续阅读“考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分”

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

继续阅读“考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总”

自然常数的简介

一般情况下，我们使用字母 $\mathrm{e}$ 表示自然常数。自然常数有时候也被称为自然底数、欧拉数或者纳皮尔常数。

自然常数是一个无限不循环小数：

$\mathrm{e}$ $\simeq$ $2$ $.$ $7$ $1$ $8$ $2$ $8$ $1$ $8$ $2$ $8$ $4$ $5$ $9$ $0$ $4$ $5$ $2$ $3$ $5$ $3$ $6$ $0$ $2$ $8$ $7$ $4$ $7$ $1$ $3$ $5$ $2$ $6$ $6$ $2$ $4$ $9$ $7$ $7$ $5$ $7$ $2$ $4$ $7$ $0$ $9$ $3$ $6$ $9$ $9$ $9$ $5$ $9$ $5$ $7$ $4$ $9$ $6$ $6$ $9$ $6$ $7$ $6$ $2$ $7$ $7$ $2$ $4$ $0$ $7$ $6$ $6$ $3$ $0$ $3$ $5$ $3$ $5$ $4$ $7$ $5$ $9$ $4$ $5$ $7$ $1$ $3$ $8$ $2$ $1$ $7$ $8$ $5$ $2$ $5$ $1$ $6$ $6$ $4$ $2$ $7$ $4$ $2$ $7$ $4$ $6$ $\cdots$

此外，自然常数 $\mathrm{e}$ 还是人类历史上目前已知的第一个非刻意构造的获得验证的超越数。

自然常数的定义

首次对 $\mathrm{e}$ 进行定义的是数学家雅各布·伯努利，而他当初对 $\mathrm{e}$ 的定义式一直沿用至今，即：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x} = e
$$

上面这个式子表示的是将 $1$ 与无穷大相加，并自乘无穷多次。

当然，对于自然常数 $\mathrm{e}$ 还有一些等价定义式，其中一个比较特别的等价定义式是通过级数定义的：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e} \\ \\
= & \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{1}{n!} \\ \\
= & \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots
\end{aligned}
$$

自然常数的计算

已知，当 $n > 0$ 时，有二项式定理为：

$$
( 1+x )^{n} = \sum_{ k=0 }^{n} C_{n}^{k} x^{k}
$$

于是，我们就可以得到关于 $\mathrm{e}$ 的计算方式：

$$
\begin{aligned}
e \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } \sum _{ i = 0 } ^ { n } C _{ i } ^ { n } 1 ^ { n – i } \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { i } \\ \\
& = \lim \limits_{n\rightarrow \infty} \left[ C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{0} + C_{1}^{n}1^{n−1}\left(\frac{1}{n}\right)^{1} + C_{2}^{n}1^{n−2}\left(\frac{1}{n}\right)^{2} + C_{3}^{n}1^{n−3}\left(\frac{1}{n}\right)^{3} + \cdots + C_{n}^{n}1^{0}\left(\frac{1}{n}\right) \right] \\ \\
& = \lim_{ n \rightarrow \infty } \left[ 1 \times 1 + n \times \frac{1}{n} + \frac{n!}{ (n-2)! 2! } \times \frac{1}{ n^{2} } + \frac{n!}{ (n-3)! 3! } \times \frac{1}{ n^{3} } + \ldots + 1 \times \frac{1}{ n^{ n } } \right] \\ \\
& = \lim_{ n \rightarrow \infty } \left[ 1 + 1 + \frac { n \times ( n-1 ) } { 2 n^{ 2 } } + \frac{ n \times ( n-1 )( n-2 ) }{ 3 \times 2 n^{3} } + \ldots + \frac{1}{ n^{n} } \right] \\ \\
& = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots \\ \\
& = 2 + 0.5 + 0.1666 \cdots + \cdots \\ \\
& = 2 . 7 1 8 2 8 \cdots
\end{aligned}
$$

自然常数的应用

欧拉的“宝石”

自然常数 $\mathrm{e}$、圆周率 $\pi$ 和虚数单位 $i$ 可以组成著名的“欧拉恒等式”，而这个恒等式不仅将 $\mathrm{e}$, $\pi$ 和 $i$ 结合了起来，还十分简洁，闪耀着数学深邃且优雅的光芒：

$$
\mathrm{e} ^{i \pi} + 1 = 0
$$

$\sqrt[x]{x}$ 的极大值

函数 $y$ $=$ $\sqrt[x]{x}$ 的极大值在 $x = e$ 处，如图 02 所示：

无穷连分数

$\mathrm{e}$ 的无穷连分数非常具有规律，由此也表明 $\mathrm{e}$ 的确是一个很特别的量：

$$
\mathrm{e} = 2 + \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{4}}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{6}}+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}}}}
$$

上面的连分式还可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e} \\ \\
& = [2;1,2,\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{4}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{6}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{8}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{10}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{12}},\ldots ]
\end{aligned}
$$

---

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$= 0$）和趋于零（$\rightarrow 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

继续阅读“数字零和极限零有什么区别？”

一、前言

在计算的时候，一个数字是大于 $1$, 还是小于 $1$ 可能对应着不同的结果，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给大家列举一些常见的情况，以便同学们在做题的时候加以注意。

继续阅读“大于 1 和小于 1 大不相同”

一、前言

考场上的每一分每一秒都很关键，所以，在保证正确的情况下，做题速度越快，竞争优势也就越大。为此，「荒原之梦考研数学」为同学们总结归纳了对含有 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}$ 或者 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{kx}$ 的多项式（其中 $k$ 为常数）进行求导的快速方法。

继续阅读“对含有 e 的式子进行快速求导的方法”

一、前言

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中，「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义，在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~

继续阅读“考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总”

一、前言

「荒原之梦考研数学」的这篇文章的标题看上去很“无聊”，因为现在正在看这篇文章的同学，几乎不会有人不知道怎么展开 $(a + b) ^{2}$.

那么，这篇文章的目的是什么呢？

其实，这篇文章只是想表达：

在考研数学的学习中，我们只要能保证遵守最基本的定理逻辑，在定理形式的理解和表达上，就可以自己怎么喜欢怎么来，怎么方便怎么来。

继续阅读“a+b 的平方到底该怎么展开？”

一、结论

首先给出结论：

$$
\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 – x ^{2}}}{x}
$$

接下来「荒原之梦考研数学 – zhaokaifeng.com」网将给出对上述结论的详细证明。

继续阅读“tan(arccos x) 等于多少？”

一、结论

首先是本文的结论：

$$
\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 – x ^{2}}}
$$

接下来，「荒原之梦考研数学 | zhaokaifeng.com」将给出有关上面这个结论的详细证明过程。

继续阅读“tan(arcsin x) 等于多少？”