高等数学基础 – 荒原之梦

从分式中拆分出常数的三个快速公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过公式的推导，帮助同学们在遇到下面这样的式子时可以从中快速拆分出常数，从而方便进行积分、求导等运算：

$$
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}}
$$

我们的目标是，对上面的式子，建立下面的等式：

$$
\begin{align}
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} & = A – \frac{B}{1 + x^{2}} \tag{1} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} & = A – \frac{B}{1 + c x^{2}} \tag{2} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} & = A – \frac{B}{d + c x^{2}} \tag{3}
\end{align}
$$

其中，$a$, $b$, $c$ 和 $d$ 是已知的常数，$A$ 和 $B$ 是未知常数.

继续阅读

一阶偏导数定义的理解

一、前言

导数是对一元函数而言的，偏导数（偏导数有时也称为“偏微商”）是对多元函数而言的. 在本文中，我们就基于二元函数 $z = f(x, y)$ 来理解其一阶偏导数的定义.

继续阅读

峰图 | 基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》和《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这两篇文章中原创的新视角和思路，进一步做方法上的完善，通过对函数微观结构的创造性定义，在微观视角上实现对函数光滑属性的描述和解释. 由于对函数光滑属性的研究，实际上就是对函数的导函数进行研究，所以，本文所提供的方法可用于以更加直观的方式解释函数的可导性，以及对导函数性质的描述.

继续阅读

函数表达式就是函数本身吗？

一、前言

函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——

我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.

那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？

继续阅读

用积分化简反三角函数和对数函数

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将提供几个用积分的方式等价改写反三角函数和对数函数的公式，并用图文结合的方式做以解释.

继续阅读

公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一

一、前言

对公式做类推，通常可以让我们借助一个较简单的公式，直接得到一个较复杂的公式，并且不需要经过太多的推理过程.

在对公式做类推的时候，往往只能考虑一个变量，如果考虑两个及以上的变量，则会让整个类推的过程变得很复杂. 所以，在对公式做类推的时候，一定要注意识别类推得出的式子与之前的式子相比，是不是只有一个变量发生变化.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过 $\ln x$ 和 $\ln (1-x)$ 的多阶导表达式的类推，来阐述上面的问题.

继续阅读

N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲清楚求解未知数时所需等式的最低数量，特别是当一个未知数有多个可能的不同取值时.

继续阅读

不同的取整运算：取整、上取整、下取整

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.

在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.

二、正文

在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——

但是，在高等数学中，“ 取整 ”运算等同于“ 下取整 ”运算，即“将一个实数舍为最接近的整数 ”：

$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$

同时，在高等数学中，“ 上取整 ”运算，即“将一个实数进为最接近的整数 ”：

$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$

三、例题

《用夹逼准则求解取整函数的极限》

同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？

一、前言

我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：

$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$

也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.

那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.

继续阅读

确定函数定义域时的一些常用约束条件

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结确定函数定义域时的一些常用约束条件，以及有关“变量表达式”的一些注意事项.

继续阅读

为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$

继续阅读

扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律

一、前言

如果我们有一个数列如下：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$

那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$

类似地，如果我们有一个级数如下：

$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$

那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$

现在的问题是：

如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$

继续阅读