一、前言
函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——
我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.
那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？
继续阅读“函数表达式就是函数本身吗？”标签： 高等数学基础
用积分化简反三角函数和对数函数
公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一
一、前言
对公式做类推，通常可以让我们借助一个较简单的公式，直接得到一个较复杂的公式，并且不需要经过太多的推理过程.
在对公式做类推的时候，往往只能考虑一个变量，如果考虑两个及以上的变量，则会让整个类推的过程变得很复杂. 所以，在对公式做类推的时候，一定要注意识别类推得出的式子与之前的式子相比，是不是只有一个变量发生变化.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过 $\ln x$ 和 $\ln (1-x)$ 的多阶导表达式的类推，来阐述上面的问题.
继续阅读“公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一”N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值
不同的取整运算：取整、上取整、下取整
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.
在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.
二、正文
在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——
但是，在高等数学中，“ 取 整 ”运算等同于“ 下 取 整 ”运算，即“将一个实数 舍 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$
同时，在高等数学中，“ 上 取 整 ”运算，即“将一个实数 进 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$
三、例题
同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？
一、前言
我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：
$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$
也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.
那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.
继续阅读“同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？”确定函数定义域时的一些常用约束条件
为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$
扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律
一、前言
如果我们有一个数列如下：
$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$
那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：
$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$
类似地，如果我们有一个级数如下：
$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$
那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：
$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$
现在的问题是：
- 如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
- 如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$
为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.
继续阅读“为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？”分块矩阵的常用运算汇总
由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过有关反三角函数 $\arctan$ 的一个恒等式，给出一个一般考研辅导资料中没有提到的等价无穷小公式.
继续阅读“由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式”基于几何证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式
一、前言
在《基于函数证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式》一文中，荒原之梦考研数学借助函数这一工具，证明了下面的（反）三角函数恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0
}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将借助几何工具，从三角函数$\tan$和反三角函数$\arctan$的定义出发，继续证明上面的恒等式，并扩展到下面这个恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = – \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t < 0
}
$$
左极限和右极限的两种不同表示形式
一、前言
在做题的时候，我们有时候会遇到 $x \rightarrow 0^{+}$ 与 $x \rightarrow 0+0$ 这样的极限表示形式，那么，这两种不同的表示形式含义有区别吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就为此给同学们做一个详细的讲解.
继续阅读“左极限和右极限的两种不同表示形式”绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明
一、前言
级数的收敛包含条件收敛和绝对收敛这两种可能的形式，所以，级数具有更复杂的性质与相关结论.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会使用向量这一工具，以图形的方式，对收敛级数进行表述上的重新定义，并据此给出解释收敛级数性质的更简洁的推理与证明.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也想阐述这样一个观点，那就是：通过适当且合理的初始定义，有可能使得对问题的研究与对结论的理解变得非常直观和简洁.
继续阅读“绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明”