一、前言
所谓多项式的因式分解，一般指的就是把一个多项式分解为两个或多个因式，从而将一个复杂的多项式，变成一些较原式更简单的多项式的乘积.
继续阅读“多项式的因式分解定理”标签： 高等数学基础
峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《齐次函数详解与示例》这篇文章中，我们以定义和示例的方式理解了什么是齐次函数，在本文中，我们将通过四则运算的运算律和峰式图两种方式，来深入理解齐次函数的本质机制.
继续阅读“峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释”齐次函数详解与示例
考研数学中常见的数字类别及符号表示
欧拉方程详解
非线性微分方程会存在通解吗？
一、前言
对于考研数学经常考察的微分方程而言，无论是齐次还是非齐次的线性微分方程都存在通解，那么，非线性的微分方程存在通解吗？
在本文中，我们就来回答一下这个问题，让同学们对非线性微分方程的性质有一个更加深入的理解.
继续阅读“非线性微分方程会存在通解吗？”由于在通解的存在性这一问题上，常微分方程和偏微分方程具有同样的性质. 所以，本文中对非线性微分方程的讨论，主要以非线性常微分方程为例.
微分方程的通解和特解
峰图 | 如何理解线性微分方程的“叠加原理”？
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
微分方程所谓的“叠加原理”指的就是，如果 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是某个齐次线性微分方程的解，那么 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$, 或者差 $k_{1} y_{1}(x) – k_{2} y_{2}(x)$ 也是该齐次线性微分方程的解，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数——
简单来说，狭义的“叠加原理”指的就是，齐次线性微分方程解的叠加仍然是其解.
当然，严格地说，对于两个解的差而言，符合的应该是“叠减原理”，而不是“叠加原理”，但在本文中，我们都将其称之为“叠加原理”.
此外，对于非齐次的线性微分方程，（广义的）叠加原理仍然有效，即：
- 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=C$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2C$ 的解；
- 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=g(x)$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2g(x)$ 的解.
如何理解微分方程的线性和非线性概念？
峰图 | 关于图形动态等价原理的解释
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在二元函数一点处极限的定义中，无论去心邻域的形状是圆形，还是正方形，对应的定义都是等价的，并且通过极限的思想证明了为什么圆形和正方形的形状不同，但是却等价.
接着，在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？》这篇文章中，我们基于《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中的结论，得出了所有能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这个更进一步的结论.
在这篇文章中，「荒原之梦考研数学」将通过对图形动态等价原理的阐释，给出有关不同形状的能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面，但在本文中仅基于二维有界平面做论述）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这一结论的另一视角的证明.
继续阅读“峰图 | 关于图形动态等价原理的解释”可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式
一、前言
对于可分离变量的微分方程，我们如下这种导数形式的表达式：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x)g(y)
$$
以及下面这种微分形式的表达式：
$$
f_{1}(x) g_{1}(y) \mathrm{~d} x + f_{2}(x) g_{2}(y) \mathrm{~d} y = 0
$$
事实上，上面这两种表达形式是完全等价的.
接下来，荒原之梦考研数学就通过代数运算，证明这二者的等价关系.
继续阅读“可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式”微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程
一、前言
微分方程（Differential Equation, DEQ）分为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）.
$$
\mathrm{ DEQ } \begin{cases}
\mathrm{ ODE } \\
\mathrm{ PDE }
\end{cases}
$$
如图 01 所示，如果对常微分方程和偏微分方程做进一步的细分，就可以发现，无论常微分方程还是偏微分方程，都有一阶、二阶、三阶……，以及线性和非线性之分，但是，只有线性的常微分方程和线性的偏微分方程才有齐次和非齐次之分，非线性的微分方程是没有齐次和非齐次之分的：
从形式上来看，ODE 和 PDE 的主要区别就是自变量的个数不同：ODE 只有一个自变量，PDE 则包含多个自变量.
由于对单变量函数的求导所得的导函数也被称为“常导数”，所以，只有一个自变量的微分方程就被称为常微分方程；类似地，由于对含有多个自变量的函数只能求偏导数，所以，含有多个自变量的微分方程就被称为偏微分方程.
在考研数学中，只考察仅包含一个自变量的常微分方程.
继续阅读“微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程”峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在计算二元函数一点处的极限时，二元函数中不同形状的去心邻域如果能够相互“包裹”，就是等价的，或者说“等效”的.
在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，给同学讲清楚，在二元函数中，哪些形状的去心邻域可用于定义或者求解一点处的极限，哪些形状的定义域不能用于定义或者求解一点处的极限.
继续阅读“峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？”考研数学常考公式快速复习！
峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过与一元函数极限的类比，以及对二元函数（全面）极限的定义的分析，为同学们讲清楚二元函数的（全面）极限.
继续阅读“峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限”如无特殊说明，本文接下来所提到的“二元函数的极限”指的都是“二元函数的全面极限”.