已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$
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\int \frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g\left(x\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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\int_{-\infty}^{+\infty}\left| x \right|3^{-x^{2}}\mathrm{~d}x=\underline{\hspace{26px}}
$$
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»A« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»B« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»C« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
»D« $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
题目告诉我们，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，假设这个对角矩阵是 $\boldsymbol{\Lambda}$, 则：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$
于是（矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 可逆）：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}
$$
由于可逆上三角矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵（关于这一结论的传统证明方式点击这里查看，峰式图证明方式点击这里查看），所以，在矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 是一个上三角矩阵的情况下，矩阵 $\boldsymbol{Q}^{-1}$ 一定也是一个上三角矩阵.
又由「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？》这篇文章可知，上三角矩阵左乘一个对角矩阵，得到的仍然是上三角矩阵. 因此，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是上三角矩阵.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 一定是一个上三角矩阵，也可以由《峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理》这篇文章中的结论得到.
又根据矩阵乘法运算的左行右列性质可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左边乘以的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 相当于给矩阵 $\boldsymbol{A}$ 施加了一些初等行变换，因此，根据《初等变换求逆法的形象理解：把单位矩阵 E 看作一张“白纸”或“原点”》这篇文章中的思路可知，只要我们拿出来一个单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 用一系列初等行变换将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成上三角矩阵，那么，矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会记录下来这些初等行变换，得到的矩阵就是矩阵 $\boldsymbol{P}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}\right) & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \left(\boldsymbol{F}, \boldsymbol{P}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
根据与上面相同的思路，前面的到的矩阵 $\boldsymbol{F}$ 实际上就是矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$, 那么，在矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 的右边乘以一个矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 就相当对矩阵 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 做了一系列来自矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的列变换，使其变成对角矩阵.
所以，在 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 中，当矩阵 $\boldsymbol{F}$ 经过一系列初等列变换变成一个对角矩阵的时候，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 就会变成矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 即：
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{F} \\ \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda} \\ \boldsymbol{Q}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
需要注意的是，本题中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是唯一的，上面的过程得到的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 之所以和选项 »C« 中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 完全相同，可以认为是一种刻意的“巧合”.
关于为什么矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 不唯一，详细的解释在本文后面的“三、补充”这一章节中.
综上可知，本 题 应 选 C 
由于，在 »A« 选项中，$\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}
$$
又因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»A« 选项不正确.
由于，在 »B« 选项中，$\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个单位矩阵，所以：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}$ 不是一个对角矩阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»B« 选项不正确.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
所以，»C« 选项正确.
由于前面已经计算证明出了 »C« 选项是正确选项，所以，只有在为了做进一步验证或者平时练习的时候才建议对 »D« 选项也做如下的计算验证.
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \\
= & \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 5 & -7 \\ 6 & 13 & -23 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 C
事实上，满足本题题干要求的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 并不是只有 »C« 选项所示的这一种组合——满足题目条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 实际上有无穷多组.
得出上述结论的依据主要有以下三个：
本题也可以求解出矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的通解——
首先，设：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0 \\
d & e & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & h & i \\
0 & j & k \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
其中，$a,c,f,g,j,l \neq 0$.
且已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
$$
于是，有：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & ah & a \left( i-l \right) \\
\left( b+2c \right) g & \left( b+2c \right) h-cj & \left( b+2c \right) i-ck+ \left( -b+c \right) l \\
\left( d+2e-f \right) g & \left( d+2e-f \right) h+ \left( -e+2f \right) j & \left( d+2e-f \right) i+ \left( -e+2f \right) k+ \left( -d+e-5f \right) l
\end{pmatrix}
$$
又因为 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 是一个对角矩阵，所以：
$$
\begin{cases}
b=-2c \\
e=2f \\
d=-3f \\
h=0 \\
i=l \\
k=3l
\end{cases} \tag{1}
$$
此时：
$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix}
ag & 0 & 0 \\
0 & cj & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
于是，由上面的 $(1)$ 式可知，满足条件的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 的一般形式（通解）可以写成：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
-2c & c & 0 \\
-3f & 2f & f
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{Q} & = \begin{pmatrix}
g & 0 & l \\
0 & j & 3l \\
0 & 0 & l
\end{pmatrix}
\end{aligned} \tag{2}
$$
其中
$$
a,c,f,g,j,l \neq 0.
$$
选项 »C« 对应的 $(2)$ 式中矩阵元素的取值（特解）是：
$$
\begin{cases}
a=1 \\
c=-1 \\
f=1 \\
g=1 \\
j=1 \\
l=1
\end{cases}
$$
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.
继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.
继续阅读“峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.
继续阅读“任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性””在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：
通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.
在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.
继续阅读“峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系”设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，则（ ）
»A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
难度评级：
继续阅读“2021年考研数二第09题解析：线性表示、齐次线性方程组的解”