考研数学二 – 第 3 页

一、题目

已知函数 $g(x)$ 连续. 设 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x^{2}} g(xt) \mathrm{~d} t$, 求 $f ^{\prime} (x)$ 的表达式，并判断 $f ^{\prime} (x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.

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2026年考研数二第17题解析：二重积分、直角坐标系转极坐标系

一、题目

计算 $I$ $=$ $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^{2}}} y \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}} \mathrm{~d} y$

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一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & b & -1 \\
a + 2 & 3 & -3a
\end{pmatrix}$. 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\top} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}) \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $\boldsymbol{y}_{1}^{2}$, 则 $a + b =$____

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2026年考研数二第15题解析：积分平均值的计算

一、题目

函数 $f(x) = \ln(2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为__

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2026年考研数二第14题解析：多元复合函数求导

一、题目

已知函数 $f(x,y)$ 可微，且 $\mathrm{d}f(0,0) = \pi \mathrm{d} x + 3 \mathrm{d}y$, 记 $g(x) = f(\ln x,\sin\pi x)$, 则 $g ^{\prime} (1) =$____

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2026年考研数二第13题解析：曲率半径

一、题目

曲线 $x^{2} + 2\sqrt{3}xy + y^{2} = 1$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径为__

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2026年考研数二第12题解析：泰勒公式、麦克劳林公式、一点处的极限

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right) =
$$

二、解析

根据泰勒公式/麦克劳林公式可知：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{\sin x}{x \sin x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – \ln(1+x)}{x\sin x} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\right]-\left[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})\right]}{x^{2}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}} \\ \\
= \ & \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

2026年考研数二第11题解析：反常积分的敛散性判断

一、题目

设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{p} (x+1)} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是__

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反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导的方式，对形如 $\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d}x$, $\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{a}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln ^{p} x} \mathrm{~d} x$ 这样的反常积分的敛散性进行证明.

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谁是无穷小量？

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下面为无穷小量的式子是（）

»A« $\dfrac{x + \cos x}{x}$

»B« $\dfrac{\sin x}{x}$

»C« $\dfrac{1}{2^{x} – 1}$

»D« $\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$

难度评级：

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等价无穷小的“串联”使用

题目 1

$$
I_{1} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} = ?
$$

解析 1

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x + \cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x – \cos x \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \cos x \frac{1 – \cos 2x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \left( 2x \right)^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{2} + 2 \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{2} }
\end{aligned}
$$

题目 2

$$
I_{2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} = ?
$$

解析 2

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – x \cos x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – \cos x}{x^{2}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{5}{6} }
\end{aligned}
$$

题目 3

根据常用的等价无穷小公式，我们有：

$$
I_{3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} = ?
$$

解析 3

$$
\begin{aligned}
I_{3} & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x + \sin x – x + x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\sin x) – \sin x}{\sin ^{3} x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\tan k – k}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – x}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x – \arcsin x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} k^{3}}{k ^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} \\ \\
& = \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{6} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 0 }
\end{aligned}
$$

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

2026年考研数二第10题解析：抽象矩阵、特征值、特征向量、对角矩阵

一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{AB}$ $+$ $\boldsymbol{BA}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{2}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{2}$，且 $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{B}$，则下列结论错误的是（）

»A« $(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B})^{3} = \boldsymbol{O}$

»B« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有零特征值

»C« $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 不能都是对角矩阵

»D« $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{B}$ 只有一个线性无关的特征向量

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2026年考研数二第09题解析：线性方程组有解的条件

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{C}$ $=$ $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$，若存在矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得 $\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{C}$，则（）

»A« $a = -1$, $b = -1$

»B« $a = 2$, $b = 2$

»C« $a = -1$, $b = 2$

»D« $a = 2$, $b = -1$

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2026年考研数二第08题解析：置换矩阵、伴随矩阵

一、题目

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（）

»A« $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵

»B« $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为置换矩阵

»C« $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$

»D« $\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

二、解析

传统解法

首先，根据《什么是置换矩阵？》这篇讲义，可设：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}
$$

接着，由初等矩阵的性质可知：

$$
\begin{aligned}
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{\top} = \boldsymbol{E}_{ij} \\ \\
& \left(\boldsymbol{E}_{ij}\right)^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{-1} & = \left( \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}} \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \right) \\ \\
& = \left(\boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}}\right)^{-1} \cdots \left(\boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}}\right)^{-1} \cdot \left(\boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}\right)^{-1} \\ \\
& = \boldsymbol{E}_{i_{n} j_{n}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{2} j_{2}} \boldsymbol{E}_{i_{1} j_{1}}
\end{aligned}
$$

因此可知，$\boldsymbol{A}^{-1}$ 仍为置换矩阵，B 选项正确.

此外，由伴随矩阵的运算性质可得：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1} = (-1)^{n} \boldsymbol{A}^{-1}
$$

即：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为偶数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{*}$，且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为置换矩阵；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $n$ 为奇数时，$\boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{*}$, 且 $\boldsymbol{A}^{*}$ 不是置换矩阵.

因此，选项 A, 选项 C 和选项 D 都不完全正确.

峰式解法

由「荒原之梦考研数学」的《初等变换求逆法的形象理解》可知，从矩阵 $\boldsymbol{A}$ 到其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，需要经过相对于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相反的初等变换，但由于从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的过程中只经过了对换操作，因此，从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 到逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中也只需要进行（相反的）对换操作，所以，逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是一个置换矩阵，B 选项正确.

由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 所以，$\boldsymbol{A}^{*}$ 和 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 之间是需要经过数乘运算的，虽然 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 一定是置换矩阵，但只有当 $\begin{vmatrix}
A
\end{vmatrix} = 1$ 时，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 才是置换矩阵，A 选项错误.

由于置换矩阵是由对换操作得到的，每进行一次对换操作，行列式的取值都要乘以 $-1$, 又由于 $\boldsymbol{A}^{*} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}$, 但是 $\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}$ 的正负不确定，所以 C 选项和 D 选项都不正确.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总讲解初等矩阵的相关性质.

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