一、题目
已知函数 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}}\sin t \mathrm{~d} t$, $g(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t \cdot \sin^{2} x$，则：
»A«. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点.
»B«. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
»C«. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
»D«. $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，$(0,0)$ 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点.
二、解析
解法 1：泰勒公式
由考研数学常用的泰勒公式，可得：
$$
\begin{aligned}
f(x) & = \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int_{0}^{x} (1+t^{2}+\cdots)(t+\cdots) \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int_{0}^{x} (t + \cdots) \mathrm{~d} t \\ \\
& = \frac{1}{2}x^{2} + \cdots
\end{aligned}
$$
于是可知：
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (0) & = 0 \\ \\
f ^{\prime \prime} (0) & = 1
\end{aligned}
$$
所以 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的极值点.
同样地，由考研数学常用的泰勒公式，可得：
$$
\begin{aligned}
g(x) & = \left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{d}t\right) \cdot \sin^{2} x \\ \\
& = \left(\int_{0}^{x} (1+t^{2}+\cdots)\mathrm{d}t\right) \cdot \sin^{2} x \\ \\
& = (x+\cdots)(x^{2}+\cdots) \\ \\
& = x^{3}+\cdots
\end{aligned}
$$
于是可知：
$$
\begin{aligned}
g ^{\prime \prime} (0) & = 0 \\ \\
g ^{\prime \prime \prime} (0) & = 6 \neq 0
\end{aligned}
$$
所以，$(0,0)$ 是曲线 $y = g(x)$ 的拐点.
综上可知，本 题 应 选 B 
解法 2：直接求导
要判断 $x = 0$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，或者判断 $(0, 0)$ 是否是函数 $f(x)$ 的拐点，首先需要对 $f(x)$ 求一阶导和二阶导，即：
$$
\begin{aligned}
\begin{aligned}
& \ f(x) = \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \sin t \mathrm{~d} t \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f ^{\prime} (x) = \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f ^{\prime \prime} (x) = 2x \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x + \mathrm{e}^{x^{2}} \cos x
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (0) & = 0 \\ \\
f ^{\prime \prime} (0) & = 1 \neq 0
\end{aligned}
$$
于是，根据极值点的定义可知，$x = 0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，而且是极小值点，但由于 $f ^{\prime \prime} (x)$ 是一个偶函数：
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime \prime} (x) & = 2x \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x + \mathrm{e}^{x^{2}} \cos x \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{奇} \cdot \text{偶} \cdot \text{奇} + \text{偶} \cdot \text{偶} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{偶}
\end{aligned}
$$
而偶函数在 $x = 0$ 的左右两侧一般不异号，所以，$(0, 0)$ 不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点.
这里需要注意的是，“极值点”并不是一个“点”，所以，我们不能说 $(0, 0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 的极值点.
要判断 $x = 0$ 是否是函数 $g(x)$ 的极值点，或者判断 $(0, 0)$ 是否是函数 $g(x)$ 的拐点，首先需要对 $g(x)$ 求一阶导和二阶导，即：
$$
\begin{aligned}
& \ g(x) = \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t \cdot \sin^{2} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ g ^{\prime} (x) = \mathrm{e}^{x^{2}} \sin^{2} x + \sin 2x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ g ^{\prime \prime} (x) = \mathrm{e}^{x^{2}} \sin 2x + 2x \mathrm{e}^{x^{2}} \sin^{2} x + \mathrm{e}^{x^{2}} \sin 2x + 2 \cos 2x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
g ^{\prime} (0) & = 0 \\ \\
g ^{\prime \prime} (0) & = 0
\end{aligned}
$$
且 $g ^{\prime \prime} (x)$ 在 $x=0$ 的左右邻域异号，因此，根据拐点的定义可知，$(0,0)$ 是曲线 $y = g(x)$ 的拐点.
判断 $g ^{\prime \prime} (x)$ 在 $x=0$ 的左右邻域异号的方法一：验证 $g ^{\prime \prime} (x)$ 的奇偶性
对于 $g ^{\prime \prime} (x)$ $=$ $\mathrm{e}^{x^{2}} \sin 2x + 2x \mathrm{e}^{x^{2}} \sin^{2} x + \mathrm{e}^{x^{2}} \sin 2x + 2 \cos 2x \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$, 可知：
- 由于 $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ 中的被积函数 $\mathrm{e}^{t^{2}}$ 是一个偶函数，积分会改变函数的奇偶性，所以 $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ 是一个奇函数；
- $\mathrm{e}^{x^{2}}$ 是一个偶函数；
- $\sin 2x$ 是一个奇函数；
- $x$ 是一个奇函数；
- $\sin ^{2} x$ 是一个偶函数；
- $\cos 2x$ 是一个偶函数.
于是，根据函数奇偶性的判断口诀，可知：
$$
\begin{aligned}
g ^{\prime \prime} (x) & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{偶} \cdot \text{奇} + \text{奇} \cdot \text{偶} \cdot \text{偶} + \text{偶} \cdot \text{奇} + \text{偶} \cdot \text{奇} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{奇} + \text{奇} + \text{奇} + \text{奇} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{奇}
\end{aligned}
$$
由于奇函数在 $x = 0$ 的左右两侧一定异号，所以，函数 $g ^{\prime \prime} (x)$ 在 $x = 0$ 的左右两侧一定异号.
判断 $g ^{\prime \prime} (x)$ 在 $x=0$ 的左右邻域异号的方法二：用泰勒展开对 $g ^{\prime \prime} (x)$ 做近似化简
当 $x \to 0$ 的时候，根据泰勒公式可知：
- $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ $\sim$ $0$
- $\mathrm{e}^{x^{2}}$ $\sim$ $1$;
- $\sin 2x$ $\sim$ $2x$;
- $\sin ^{2} x$ $\sim$ $x^{2}$;
- $\cos 2x$ $\sim$ $1$.
于是：
$$
\begin{aligned}
g ^{\prime \prime} (x) & \sim 1 \cdot 2x + 2x \cdot x^{2} + 1 \cdot 2x + 0 \\ \\
& \sim 4 x + 2 x^{3}
\end{aligned}
$$
由于 $4 x + 2 x^{3}$ 是一个奇函数，所以，$g ^{\prime \prime} (x)$ 也是一个奇函数.
此外，对于 $(0,0)$ 是否是曲线 $y = g(x)$ 的拐点，还可以通过对 $g ^{\prime \prime} (x)$ 继续求导判断：
$$
\begin{aligned}
g ^{\prime \prime \prime} (x) & = 6 \mathrm{e}^{x^{2}} \cos 2x + \left( \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t \right) \cdot (-4)\sin 2x \\ \\
& + 6x \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \sin 2x + 2 \mathrm{e}^{x^{2}} \sin^{2} x + 4x^{2} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin^{2} x
\end{aligned}
$$
于是：
$$
g ^{\prime \prime \prime} (0) = 6 \neq 0
$$
因此，根据三阶导与拐点存在性的关系可知，$(0, 0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 的极值点.
综上可知，本 题 应 选 B