2025年考研数二第08题解析：矩阵的特征值、韦达定理、二次型

一、题目

»A«. $a>4, b>0$

»B«. $a<4, b>0$

»C«. $a>4, b<0$

»D«. $a<4, b<0$

难度评级：

二、解析

方法 1：基于矩阵的特征值求解

设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 的三个特征值分别为 $\lambda_{1}>0,\lambda_{2}<0,\lambda_{3}<0$，则，由“正数 $\times$ 负数 $\times$ 负数 $>$ $0$”，可得：

$$
\begin{align}
& \ \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} > 0 \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right| > 0 \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ b\left(a-4\right)>0 \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{orange}{ \begin{cases}
b>0 \\
a>4
\end{cases} \text{ 或者 } \begin{cases}
b<0 \\
a<4
\end{cases} } \tag{1}
\end{align}
$$

接着，根据特征值的定义或计算公式 $\lambda \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} = 0$, 可得：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & -2 & 0 \\ -2 & \lambda-a & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-b\end{array}\right|=0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left(\lambda-b\right)\left[\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-a\right)-4\right]=0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\lambda_{1} = b \\
\left(\lambda – 1 \right) \left(\lambda – a \right)-4 = 0
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\lambda_{1} = b \\
\lambda^{2}-\left(a+1\right)\lambda + a – 4 = 0
\end{cases}
\end{aligned}
$$

对于 $\lambda^{2}-\left(a+1\right)\lambda + a – 4 = 0$, 由韦达定理，可知：

$$
\begin{aligned}
\lambda_{2}+\lambda_{3} & = a+1 \\ \\
\lambda_{2} \cdot \lambda_{3} & = a-4
\end{aligned}
$$

于是，根据题意分析可知，若 $\lambda_{1} = b > 0$, 则:

$$
\begin{aligned}
\lambda_{2} + \lambda_{3} & = a + 1 < 0 \\ \lambda_{2} \cdot \lambda_{3} & = a-4 > 0
\end{aligned}
$$

上式解得：

$$
\begin{aligned}
a & < -1 \\ a & > 4
\end{aligned}
$$

由于 $a$ 即小于 $-1$, 又大于 $4$ 显然是错误的，所以，$b > 0$ 不成立，结合前面的 $(1)$ 式，可知，只能是 $b<0$.

综上可知，本 题 应 选 D

方法 2：基于二次型求解

由于 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{matrix}
1 & 2 & 0\\
2 & a & 0\\
0 & 0 & b
\end{matrix}\right)$ 是一个实对称矩阵，根据《实对称矩阵的性质及其二次型》这篇讲义可知，该实对称矩阵对应二次型为：

$$
f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+b x_{3}^{2}+4 x_{1}x_{2} \tag{2}
$$

接着，使用配方法将上面的 $(2)$ 式转化为标准型，得：

$$
\begin{aligned}
f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) & = \textcolor{orange}{1} \cdot \left(x_{1}+2x_{2}\right)^{2} + \textcolor{lightgreen}{ \left(a-4\right) } x_{2}^{2} + \textcolor{pink}{ b } x_{3}^{2}
\end{aligned}
$$

由于由配方法得到的合同标准型的系数 $\textcolor{orange}{1}$, $\textcolor{lightgreen}{a-4}$ 和 $\textcolor{pink}{b}$ 的正负性和矩阵对应的特征值相同，且由题知 $\boldsymbol{A}$ 有一正两负三个特征值，所以：

$$
\begin{cases}
a-4 < 0 \\
b<0
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
a<4 \\
b<0
\end{cases}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

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