2025年考研数二第04题解析：高阶无穷小

一、题目

»A«. $f(x) + g(x) = o(g(x))$

»B«. $f(x) \cdot g(x) = o(f^{2}(x))$

»C«. $f(x) = o(\mathrm{e}^{g(x)}-1)$

»D«. $f(x) = o(g^{2}(x))$

二、解析

首先，由题可知，当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，即：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0
$$

于是——

选项 A：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} + \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{g(x)} = 1 \neq 0
$$

因此，$f(x) + g(x)$ 不是 $g(x)$ 的高阶无穷小，即：

$$
f(x) + g(x) \neq o(g(x))
$$

A 选项错误.

选项 B：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) \cdot g(x)}{f^{2}(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)} = \infty
$$

因此，$f(x) \cdot g(x)$ 是 $f^{2}(x)$ 的高阶无穷大，即：

$$
f(x) \cdot g(x) \neq o(f^{2}(x))
$$

B 选项错误.

选项 C：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{g(x)}-1}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=0
$$

因此，$f(x)$ 是 $\mathrm{e}^{g(x)}-1$ 的高阶无穷小，即：

$$
f(x)=o(\mathrm{e}^{g(x)}-1)
$$

于是可知，选项 C 正确.

选项 D：

$f(x) = o(g^{2}(x))$

在 $x \to 0$ 的时候，当 $g(x)$ 已经是一个无穷小量的情况下，$g^{2}(x)$ 就是 $g(x)$ 的二阶高阶无穷小，虽然由题目我们可以知道，当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，但是，我们不知道 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的二阶高阶无穷小，还是说，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的三阶（或者更高阶）的高阶无穷小，因此，D 选项的结论无法确定.

例如，当 $f(x) = x^{2}$, $g(x) = x$ 时，有 $f(x) = o(g(x))$, 但是 $f(x) \neq o(g^{2}(x))$；

但是，当 $f(x) = x^{3}$, $g(x) = x$ 时，有 $f(x) = o(g(x))$, 且 $f(x) = o(g^{2}(x))$.

当然，对 D 选项中的式子进行计算之后就会发现，这其实是一个 $0 \cdot \infty$ 的未定式，因此，也可以说明 D 选项不正确：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^{2}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{1}{g(x)} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } 0 \cdot \infty
$$

综上可知，D 选项错误.

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