2025年考研数二第06题解析：质点之间的引力、积分的物理应用

一、题目

»A«. $\int_{{0}}^{{l}} \frac{G}{x^{2}+1}\mathrm{~d}x$

»B«. $\int_{{0}}^{{l}} \frac{Gx}{\left( x^{2}+1 \right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$

»C«. $\int_{{0}}^{{l}} \frac{G}{\left( x^{2}+1 \right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$

»D«. $\int_{{0}}^{{l}} \frac{G\left( x+1 \right)}{\left( x^{2}+1 \right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x$

难度评级：

二、解析

首先，由题可知，单位质点 $P$ 和单位质点 $Q$ 在坐标系上的位置如图 01 所示：

接着，在任意区间 $\left[ x,x+\mathrm{d}x \right] \subset \left[ 0,l \right]$ 上，根据两点之间的距离公式（勾股定理）可知，点 $\left( x,0 \right)$ 到 $\left( 0,1 \right)$ 的距离：

$$
r = \sqrt{1+x^{2}}
$$

因此，根据引力的计算公式，可知，单位质点 $Q$ 对单位质点 $P$ 的总引力大小为：

$$
\mathrm{d}F = G \frac{1 \cdot 1}{r^{2}} = G\frac{1}{x^{2}+1}
$$

注意：
[1]. “单位质点”就是质量为 $1$ 的质点；
[2]. 本题是计算两个质点之间的引力，如果是计算一个质点和一个非质点之间的引力，可以查阅荒原之梦考研数学的《计算质点和非质点之间引力的方法：微元法》这篇讲义.

如图 02 所示，由于质点 $P$ 沿 $X$ 轴运动，故只有水平方向克服引力 $F$ 做功（只有在力的方向上有位移才会做功）：

由三角形的几何性质可知（力 $F$ 是力 $F ^{\prime}$ 在 $X$ 轴上的投影）：

$$
F = F ^{\prime} \cdot \cos \theta
$$

于是可知，质点 $P$ 在水平方向上受到的引力为：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}F_{{x}} & = G \frac{1}{x^{2}+1} \cdot \cos \theta \\ \\
& = G \frac{1}{x^{2}+1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \\ \\
& = G \frac{x}{\left( x^{2}+1 \right)^{\frac{3}{2}}}
\end{aligned}
$$

综上可知，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为：

$$
W=\int_{{0}}^{{l}} G \frac{x}{\left( x^{2}+1 \right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d}x
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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