题目
求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
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2013年考研数二第18题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理
一、题目
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：
$(Ⅰ)$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi)=1$;
$(Ⅱ)$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta) + f^{‘}(\eta)=1$.
继续阅读“2013年考研数二第18题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、中值定理”2013年考研数二第17题解析：二重积分的计算
题目
设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 $\iint_{D} x^{2} dxdy.$
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题目
设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_{x}$, $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_{y} = 10V_{x}$, 求 $a$ 的值。
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题目
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$ 与 $ax^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。
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题目
已知：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
-1 & 0 & a\\
0 & a & -1
\end{bmatrix},
$$
二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=X^{\top}(A^{\top}A)X$ 的秩为 $2$.
$(Ⅰ)$ 求实数 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求正交变换 $x=Qy$, 将 $f$ 化为标准形。
继续阅读“2012年考研数二第23题解析：二次型基础、二次型化为标准型、秩”2012年考研数二第22题解析：行列式的按行（列）展开定理、非齐次线性方程组求解
题目
设：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & a & 0 & 0\\
0 & 1 & a & 0\\
0 & 0 & 1 & a\\
a & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
$$
\beta=
\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 计算行列式 $|A|$.
$(Ⅱ)$ 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，并求其通解。
继续阅读“2012年考研数二第22题解析：行列式的按行（列）展开定理、非齐次线性方程组求解”2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限
题目
$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；
$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
继续阅读“2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限”2012年考研数二第20题解析：求导、单调性、最值点、拐点
题目
证明：
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中：
$$
-1 < x < 1.
$$
2011年考研数二第11题解析
题目
曲线 $y = \int_{0}^{x}\tan t d t(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4})$ 的弧长 $s = ?$
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1. 前言
明白二重积分的几何意义对我们更好的理解和掌握高等数学中二重积分的相关题目具有十分重要的意义。在本文中，荒原之梦网将通过形象的图文，清晰明了的阐释清楚二重积分的几何意义，让大家在学习二重积分以及在计算二重积分的相关题目时，更加胸有成竹。
继续阅读“高等数学：二重积分的几何意义解释”用待定系数法求二阶非齐次微分方程特解时的设解方法
2020 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析
一、题目
设 $A$, $B$, $C$ 为三个随机事件，且 $P(A)$ $=$ $P(B)$ $=$ $P(C)$ $=$ $\frac{1}{4}$, $P(AB)$ $=$ $0$, $P(AC)$ $=$ $P(BC)$ $=$ $\frac{1}{12}$, 则 $A$, $B$, $C$ 中恰有一个发生的概率为 （ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{12}$
继续阅读“2020 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析”概率论：理解事件的互斥，对立与独立
一、性质
$A$ 与 $B$ 为互斥（互不相容）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 不能同时发生。
$A$ 与 $B$ 为对立（互逆）事件 $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$ $=$ $\varnothing$ 且 $A$ $\cup$ $B$ $=$ $\Omega$ $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 在一次试验中必然发生且只能发生一个。
若 $P(A)$ $=$ $0$ 或 $P(A)$ $=$1$, 则 $A$ 与任何事件都相互独立。
若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$.
若 $A$ 与 $B$ 互斥（或互逆）且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不相互独立。
若 $A$ 与 $B$ 相互独立且均为非零概率事件，则 $A$ 与 $B$ 不互斥。
二、图解
$A$ 与 $B$ 互斥（互不相容）关系如图 1 所示：
$A$ 与 $B$ 对立（互逆）关系如图 2 所示：
$A$ 与 $B$ 相互独立关系如图 3 所示：
$A$ 与 $B$ 互逆，互斥与独立之间的推导关系如图 4 所示：
EOF
2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析
一、题目
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.
二、解析
本题存在（关于原点对称的）对称区间 “$[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$”, 在求积分的时候，如果看到这样的对称区间，则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数，则其在对称区间上的积分为 $0$, 如果是偶函数，则我们可以只计算其大于 $0$ 或者小于 $0$ 方向上的积分，之后再乘以 $2$ 即可获得整个积分区间上的积分数值。
由于：
$\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.
因此，$f(x)$ $=$ $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 是一个奇函数，因此，其在对称区间 $[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$ 上的积分为 $0$.
又由于：
$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.
因此，$g(x)$ $=$ $|x|$ 是一个偶函数。
于是：
原式 $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $|x|$ $dx$ $=$ $2$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $x$ $dx$ $=$ $2$ $\cdot$ $\frac{1}{2}x^{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.
当然，本题除了可以使用积分的原理计算之外，还可以画图计算面积，如图 1：
根据上图，我们有：
$\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.
综上可知，本题的正确答案是：$\frac{\pi^{2}}{4}$.
EOF