为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

一、前言

对于方阵而言，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对应相等，这个矩阵就被称为“对称矩阵”，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对称正负相反，这个矩阵就被称为“斜对称矩阵”.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就基于转置矩阵的性质，为同学们讲解清楚：为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

Tip

斜对称矩阵并不是关于矩阵副对角线对称的矩阵.

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二、正文

首先，对于任意的一个矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们都可以做下面的分解，将其写成矩阵 $\frac{\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}}{2}$ 和矩阵 $\frac{\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{\top}}{2}$ 之和的形式：

$$
\boldsymbol{A} = \frac{2 \boldsymbol{A}}{2} = \frac{\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}}{2} + \frac{\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{\top}}{2}
$$

接着，分析矩阵的转置运算的性质可知，将一个方阵做转置运算表面上是“行变列，列变行”，但本质上就是保持主对角线元素不变，以主对角线为“轴”，将主对角线两侧的元素，沿着主对角线这个“轴”做一个翻转.

例如，在下面的转置运算过程中，我们可以将矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}$ 看作是由矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$ 的行变列，列变行得到的，也可以看作是将矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$ 主对角线两侧的元素对调（翻转）得到的：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
$$

从下面这个三阶方阵中，可以看得更加明显：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
$$

因此，在进行 $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}$ 的运算后，矩阵主对角线相当于乘以 $2$, 而主对角线两侧对应位置的元素相当于“缺少补少，缺多补多”，就变得相等了，因此，$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}$ 和 $\frac{\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}}{2}$ 都是关于主对角线对称的对称矩阵，例如：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}^{\top} + \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 6 & 10 \\
6 & 10 & 14 \\
10 & 14 & 18
\end{pmatrix}
$$

简单地说，$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^{\top}$ 之所以是对称矩阵的原理就是，类似下面这样的运算发生在矩阵主对角线的两侧：

$$
a + b = b + a
$$

类似地，在进行 $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{\top}$ 的运算后，矩阵主对角线元素全部变为零元素，主对角线两侧对应位置的元素就变成了“大的减去小的，小的减去大的”，因此就会导致一个是正数，一个是负数，但是他们的绝对值是相等，例如：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}^{\top} – \begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & -2 & -4 \\
2 & 0 & -2 \\
4 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$

简单地说，$\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{\top}$ 之所以是斜对称矩阵的原理就是，类似下面这样的运算发生在矩阵主对角线的两侧：

$$
a – b = – \left( b-a \right)
$$

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