2025年考研数二第07题解析：一点处导数的定义、函数的存在性

一、题目

难度评级：

二、解析

下面，我们针对题目中的四个条件逐一进行判断：

① 设极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f \left( x \right) \right| – f\left( 0 \right)}{x} = A$ 存在

在上面的假设成立的情况下，可知：

$$
\lim_{x \to 0} \left[ \left| f\left( x \right) \right| – f\left( 0 \right) \right] = 0
$$

又由于 $f\left( x \right)$ 连续，于是，根据极限的运算法则，可知：

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{x \to 0} \left[ \left| f\left( x \right) \right| – f\left( 0 \right) \right] = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left| f\left( 0 \right) \right| – f\left( 0 \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f(0) = \left| f(0) \right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f\left( 0 \right) \ge 0
\end{aligned}
$$

接着，分情况讨论如下：

(1) 若 $f \left( 0 \right) = 0$, 则 $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} = A$，则：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} \\ \\
& = \textcolor{pink}{ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} } \\ \\
& = – \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{\left| x \right|} \\ \\
& = – \lim_{x \to 0^{-}} \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\lim_{x \to 0^{-}} \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right| = -A \geqslant 0 \tag{1}
$$

同理，有：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} \\ \\
& = \textcolor{pink}{ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} } \\ \\
& = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{\left| x \right|} \\ \\
& = \lim_{x \to 0^{+}} \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\lim_{x \to 0^{+}} \left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right| = A \geqslant 0 \tag{2}
$$

综合上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可知：

$$
A = 0
$$

因此：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} = 0
$$

从而：

$$
f^{\prime}\left( 0 \right) = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right)}{x} = 0
$$

(2) 若 $f\left( 0 \right) > 0$，由于 $f\left( x \right)$ 连续，所以 $\lim_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) > 0$，由保号性知，存在 $\delta > 0$, 使得当 $x \in \left( -\delta, \delta \right)$ 时，有 $f\left( x \right) > 0$ 成立.

于是 $A = \lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right| – f\left( 0 \right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = f^{\prime}\left( 0 \right)$ 存在.

② 设极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f \left( x \right) – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} = A$ 存在

在上面的假设成立的情况下，可知：

$$
\lim_{x \to 0} \left[ f \left( x \right) – \left| f \left( 0 \right) \right| \right] = 0
$$

又由于 $f\left( x \right)$ 连续，于是，根据极限的运算法则，可知：

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{x \to 0} \left[ f\left( x \right) – \left| f\left( 0 \right) \right| \right] = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f\left( 0 \right) – \left| f\left( 0 \right) \right| = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f(0) = \left| f(0) \right| \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ f\left( 0 \right) \ge 0
\end{aligned}
$$

接着，分情况讨论如下：

(1) 若 $f\left( 0 \right) = 0$，则：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = f^{\prime}\left( 0 \right)
\end{aligned}
$$

(2) 若 $f\left( 0 \right) > 0$，则：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = f^{\prime}\left( 0 \right)
\end{aligned}
$$

③ 设极限 $\lim_{x \to 0} \frac{ \left| f\left( x \right) \right|}{x} = A$ 存在

由前面在方法 ① 中的讨论可知，由极限 $\textcolor{pink}{ \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} } = A$ 和 $\textcolor{pink}{ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} } = A$ 可以推导出函数 $f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处可导.

④ 设极限 $\lim_{x \to 0} \frac{ \left| f\left( x \right) \right| – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} = A$ 存在

(1) 若 $f\left( 0 \right) = 0$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right|}{x} = A$，由前面的条件 ③ 可知，函数 $f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处可导.

(2) 若 $f\left( 0 \right) \ne 0$，则：

不妨设 $f\left( 0 \right) > 0$，由于 $f\left( x \right)$ 连续，所以 $\lim_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) > 0$，由保号性知，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in \left( -\delta, \delta \right)$ 时，有 $f\left( x \right) > 0$ 成立.

于是（大于零就可以直接去掉绝对值符号）：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right| – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = f^{\prime}\left( 0 \right)
\end{aligned}
$$

同理，若 $f\left( 0 \right) < 0$，则由保号性知，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in \left( -\delta, \delta \right)$ 时，有 $f\left( x \right) < 0$ 成立.

于是（小于零在去掉绝对值符号的时候要补负号）：

$$
\begin{aligned}
A & = \lim_{x \to 0} \frac{\left| f\left( x \right) \right| – \left| f\left( 0 \right) \right|}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{-f\left( x \right) + f\left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = – \lim_{x \to 0} \frac{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}{x} = – f^{\prime}\left( 0 \right)
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

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