一、前言
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式(也称“对数指係公式”):
$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式(也称“对数指係公式”):
$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$
在本文中,「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式(也称“对数基变换公式”)的详细证明:
$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理,分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式:
$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$
意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”,同时,在我们学习数学或者使用数学的时候,也常常会遇到“对数”。
但是,取对数到底有什么用呢?在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。
对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值,或者说,对数可以反应较大数字的“量级”。
例如,对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字,如果要比较这样的数字的大小,或者将其绘制在坐标图上,都不是很好表示,但如果我们对其取对数,就可以在减少这样的差异,并且不改变原有的大小关系(因为对数函数是一个单调递增的函数,可以保留原有的相对大小关系):
$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$
$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$
在上面做数值压缩的过程中,我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”,因为常用的数字就是十进制的,用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级(一个“量级”就是十进制的一个“位”,即千位、百位和十位等),例如:
$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$
$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$
$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$
当然,用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小,但不能反映出十进制数字原本的量级:
$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$
Note
在实际应用中,至少下面的数值或者表示方法都使用了对数:
zhaokaifeng.com
⁕ 里氏地震震级(用于描述地震烈度)
⁕ 分贝(用于音量)
⁕ 奈培(用于电功率)
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等(用于音乐中的相对音高)
⁕ Logit(用于统计学的发生比)
⁕ 巴勒莫撞击危险指数(用于表示近地天体撞击地球的危险几率)
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比(用于计算摄影中的曝光量)
⁕ 熵(用于热力学)
⁕ 信息(用于信息论)
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图(用于表示星体之间的相对位置)
⁕ 能量密度(用于铀和化石燃料能量密度的比较)
⁕ pH 值(用于表示酸性)
⁕ 视星(用于表示恒星亮度)
⁕ 克伦宾尺度(用于地质学中表示粒径)
⁕ 吸光度(用于描述物体的透光性能)
此外,取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。
例如,当 $Z$ 为变量,$n$ 为常数的时候,”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式,但是,对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:
$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$
同样的,当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候,”$xy$” 不是一个线性表达式,但是对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:
$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$
线性表达式在计算上更加简单,在人工智能领域有着广泛且深入的应用。
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题!
已知 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$, 并且 $K \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时,下列结论中一定正确的是哪个?
⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$
⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K – \frac{1}{n}$
⟨C⟩» $\left| A_{n} \right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$
⟨D⟩» $\left| A_{n} \right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$
难度评级:
无 穷 小 量不可数,例如,当 $x \rightarrow \infty$ 的时候,$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量,我们也可以将无穷小理解为“无限小”;
有 限 小 量可数,例如,无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字,但他们都是可数的,都是一个确定的量。
加上或者减去一个 无 穷 小 量不会对原有的数值产生影响:
$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$
加上或者减去一个 有 限 小 量会对原有的数值产生影响:
$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$
有了上面的知识之后,求解本题就很容易了。
首先可以看到,无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时,也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时,都有:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$
也就是说,当 $n \rightarrow \infty$ 时:
$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$
又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知:
$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$
综上可知,C 选 项 正 确 。
我们也可以用反例法求解本题:
当 $n \rightarrow \infty$ 时,若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件,但此时:
$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K + \frac{2}{n} \right) > \left( K + \frac{1}{n} \right) \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} > \left( K + \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
\textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} < \left( K + \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$
类似的,当 $n \rightarrow \infty$ 时,若令 $A_{n}$ $=$ $K – \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件,但此时:
$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K – \frac{2}{n} \right) < \left( K – \frac{1}{n} \right) \\ \\ \textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} < \left( K – \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\ \textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} > \left( K – \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$
虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数,但是,由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知:
$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$
且:
$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$
由于当 $n$ 足够大时,也就是 $n \rightarrow \infty$ 时,上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立,并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值,所以下式一定成立:
$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$
即:
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$
我们也可以用极限的定义求解本题:
由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知:
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0
$$
于是,根据极限的定义可知,若令 $\xi = \frac{|K|}{2}$, 则一定存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时,有:
$$
\begin{aligned}
& \left( \textcolor{orange}{ \Big| |A_{n}| − |K| \Big| } \right) < \left( \textcolor{orange}{ \xi = \frac{∣K∣}{2} } \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \Big| |A_{n}| − |K| \Big| < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{-|K|}{2} < \left( \textcolor{pink}{ |A_{n}| − |K| } \right) < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < \frac{3 |K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ |A_{n}| < |K| } \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < |K| \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$
事实上,若 $k$ $\in$ $(0, 1)$, $\xi$ $\in$ $(0, |K|)$ 按照上述方法,我们可以证明当 $n$ 足够大的时候,下式一定成立:
$$
\textcolor{yellow}{
|A_{n}| > k |K|
}
$$
综上可知,C 选 项 正 确 。
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题!
在解决含有无穷小量问题的时候,我们常常需要面对的问题就是:
什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中?什么时候又该将无穷小量舍去?
在本文中,「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象,为同学们讲明白,如何通过让大的无穷小更大,让小的无穷小更小的“分化融合”方法,来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。
继续阅读“解决无穷小量取舍问题的一个思路:让小泡泡汇聚成大泡泡”对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响,在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响,进而在学习和解题的过程中加以应用。
继续阅读“加减乘除运算对函数图象形状的影响”我们知道,如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义(不需要一定在该邻域内可导),且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导,则:
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$
上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。
但事实上,上面式子中的等号严格的来说是不成立的,且在有些时候,我们不能直接使用上面的式子完成解题。
所以,在本文中,「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系,对上面的式子进行完善,以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。
继续阅读“借助极限与无穷小的关系,对一点处导数的定义式进行完善”我们知道,一般情况下,积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如,在下面的式子中,一般情况下,如果函数 $f(x)$ 是奇函数,则 $F(x)$ 就是偶函数;如果函数 $f(x)$ 是偶函数,则 $F(x)$ 就是奇函数:
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$
但是,如果我们要分析的是下面这个式子,则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢?
$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算,给同学们讲明白这个问题。
继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式:
$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$
在本文中,荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。
继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”三角函数的二倍角公式($\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$)很常用,三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候,也是一个非常有用的工具。在本文中,「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”