向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, $2)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是（）
难度评级：
继续阅读“极大线性无关组就是所有线性无关向量的集合”已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“怎么保证这道题目中矩阵的秩为二：回头验证很重要”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\gamma}=$ $(a, b, c)^{\mathrm{\top}}$. 如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right]$, $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $a$ 需要满足什么条件？
难度评级：
继续阅读“秩与行阶梯形矩阵总是形影不离”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)=?$
难度评级：
继续阅读“基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为（）
难度评级：
继续阅读“能表示任意向量的向量一定等价于单位向量”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{\top}}$, 且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为（）
难度评级：
继续阅读“当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，线性方程组无解”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$. 若 $\boldsymbol{\beta}$ 可 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解””已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值（）
难度评级：
继续阅读“线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵”已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $t$ 的取值为（）
难度评级：
继续阅读“当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时，正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字，也可能是某个取值范围”已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $t=?$
难度评级：
继续阅读“线性相关的向量组对应的行列式一定不满秩”
如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1} A P = B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：
$$
A \sim B
$$
那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。
继续阅读“相似矩阵的性质汇总”已知，四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A B}+6 \boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{B}=?$
难度评级：
继续阅读“二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法：主对角线对调，副对角线变号”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$, 且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{B}=?$
难度评级：
继续阅读“常数乘在矩阵的左边或者右边效果一样”已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=3$, 将 $\boldsymbol{A}$ 第二列的 $-5$ 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则 $|A^{*} B|=?$
难度评级：
继续阅读“伴随矩阵与“左行右列”规则结合的一道题目”