当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时，正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字，也可能是某个取值范围

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $t$ 的取值为（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \\ -1 & t & 5 \\ 1 & 0 & t\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等列变换 $\Rightarrow$

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -4 \\ -1 & t+2 & 5 \\ 1 & -2 & t\end{array}\right]
$$

于是可知，第一列一定和第二、三列不相关。为了保证第二列和第三列不相关，则需有：

$$
t+2 \neq 5, \quad t \neq-2
$$

又：

$$
t=3 \Rightarrow t \neq-2
$$

$$
t=-2 \Rightarrow t \neq 3
$$

因此：

$$
t \in(-\infty,+\infty)
$$

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