二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法：主对角线对调，副对角线变号

一、题目

已知，四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A B}+6 \boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

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二、解析

首先，化简题目所给的抽象矩阵：

$$
2 A B A^{-1}=A B+6 E \Rightarrow
$$

左边乘以 $A^{-1}$, 右边乘以 $A$:

$$
2 A^{-1} A B A^{-1} A=A^{-1} A B A+6 A^{-1} E A \Rightarrow
$$

$$
2 B=B A+6 E \Rightarrow
$$

$$
2 B-B A=6 E \Rightarrow
$$

$$
B(2 E-A)=6 E \Rightarrow
$$

$$
B=6 E(2 E-A)^{-1} \Rightarrow
$$

Tips:

“$6E$” 主要是为了形成一个矩阵，如果式子中其他部分已经可以保证乘以 $6$ 所得的就是一个矩阵，那么，$6E$ 就可以写成 $6$.

$$
B=6(2 E-A)^{-1}
$$

又：

$$
2 E-A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
$$

又知，块对角矩阵的运算规律如下：

$$
\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1}\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0\end{array}\right]
$$

且知，二阶矩阵的伴随矩阵快速求解方式为“主对角线对调，副对角线变号”：

$$
\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]
$$

且：

$$
A^{*}=|A| A^{-1} \Rightarrow A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}
$$

又：：

$$
\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & -1\end{array}\right]^{*}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right]^{*}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ -1 & 2\end{array}\right]
$$

且：

$$
\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & -1\end{array}\right|=-1-2=-3, \quad\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right|=4+2=6
$$

于是：

$$
6(2 E-A)=6\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{3} & \frac{-2}{3} & 0 & 0 \\ \frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & \frac{-1}{6} & \frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right]
$$

Tips:

注意：

1. 矩阵乘以一个常数，是矩阵的每一行或者每一列都乘以这个常数；
2. 行列式乘以一个常数，是行列式的某一行或者某一列乘以这个常数。

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