线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$, $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值（）

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)\left[\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right] \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2+3 a & 7\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 a & 1\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
1-9 a \neq 0 \Rightarrow a \neq \frac{1}{9}
$$

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