当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，线性方程组无解

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{\top}}$, 且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

二、解析

$$
\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}7 \\ a \\ 14 \\ 3\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 5 & 7 \\ 3 & -1 & 1 & a \\ 2 & 4 & 6 & 14 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & -7 & -14 & a-21 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right) \Rightarrow a \neq 0
$$

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