只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$. 若 $\boldsymbol{\beta}$ 可 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
r\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 3 \\ 1 & a & -2 & 0\end{array}\right)<3 \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a & 1 \\ 0 & a-2 & -3 & -1\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}a-2=1 \\ a=3\end{array} \Rightarrow a=3\right.
$$

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