基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)=?$

难度评级：

二、解析

由于 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中有两个解向量，因此：

$$
n-r=2 \Rightarrow
$$

$$
4-r=2
$$

Tips:

系数矩阵的秩最大为 $n$, 且在 $5 \times 4$ 的矩阵中，秩的最大值只能是 $4$, 因此，这里的 $n=4$.

于是可知：

$$
r (A^{\top}) = r(A) = 4-2=2.
$$

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