伴随矩阵与“左行右列”规则结合的一道题目

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=3$, 将 $\boldsymbol{A}$ 第二列的 $-5$ 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则 $|A^{*} B|=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\left|A^{*} B\right|=|| A\left|\cdot A^{-1} B\right|=|A| \frac{1}{|A|} \cdot|B|=|A|^{2}|B|=9|B|
$$

又：

$$
B=A\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

于是：

$$
|B|=|A|\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right| \Rightarrow \\ |B|=3 \times 1=3
$$

综上可知：

$$
\left|A^{*} B\right|=9 \times 3=27.
$$

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